Question

如图所示，在固定的水平光滑长杆上套着一个质量为m的滑环A，滑环通过一根不可伸长的轻绳悬吊一质量为M=3m的重物B，轻绳长为L．将滑环A固定在水平杆上，给B一个水平瞬时冲量作用，使B向左摆动，且恰好刚碰到水平杆．若滑环A不固定，仍给B以同样大小的冲量作用，在此后的运动过程中（A未滑离杆）．求：
（1）B离杆最近时的距离；
（2）B到达最低点时的速度；
（3）B到达最低点时A对杆的压力大小．

Answer 1

分析：（1）先研究A固定的情形：B摆动过程中，遵守机械能守恒，可列式求出B摆动的初速度．再研究A不固定的情形：A、B系统在水平方向上动量守恒，在B摆到最高点时离杆最近，此时二者有相等的速度，根据动量守恒和机械能守恒列式求解；
（2）根据系统水平方向动量守恒和机械能守恒列式，求解B到达最低点时的速度．
（3）B离杆最远时应在最低点，运用归纳法研究：运用动量守恒和机械能守恒列式分别求出第1次、第2次…回到最低点时B、A的速度，即可总结规律．根据牛顿第二定律求出绳子对B的拉力，即可求出A对杆的压力．

解答：解：（1）环A固定时B摆动过程中，由机械能守恒得：

1

2

Mv02=MgL
解得B摆动的初速度：

v

0

=

2gL

当A不固定，对A、B系统在水平方向上动量守恒，且在B摆到最高点时离杆最近，此时二者有相等的速度v，则：Mv₀=（M+m）v
设B摆到最大高度时离杆的最近距离为h，由机械能守恒得：Mg(L-h)+

1

2

(M+m)v2=

1

2

M

v

2 0

解以上方程得：h=

3

4

L
（2）B在最低点时，B从水平冲量作用获得初速度v₀后到第1次回到最低点时，B、A速度分别设为v₁和v₂，此时A的速度达最大值．
由水平方向动量守恒得：Mv₀=Mv₁+mv₂…①
由机械能守恒得：

1

2

M

v

2 0

=

1

2

M

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

…②
解以上两方程得：v1=

1

2

v0=

1

2

2gL

，v2=

3

2

v0=

3

2

2gL

第2次回到最低点时，B、A速度分别设为

v

′ 1

和

v

′ 2

，同理可得：Mv1+mv2=M

v

′ 1

+m

v

′ 2

…③
 

1

2

M

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

=

1

2

M

v

′2 1

+

1

2

m

v

′2 2

…④
解以上两方程得：

v

′ 1

=v0=

2gL

，

v

′ 2

=0．
以此类推可知：B奇数次经过最低点时速度为：v1=

1

2

v0=

1

2

2gL

，方向向左；偶数次经过最低点时速度为：

v

′ 1

=

2gL

，方向向右．
（3）B奇数次经过最低点时绳对B的拉力：T=Mg+M

( v   1 -v2)2

L

=3mg+M

( 2gL )2

L

=9mg，环A对杆的压力F=mg+9mg=10mg．
B偶数次经过最低点时绳对B的拉力：T′=Mg+M

( v ′ 1 - v ′ 2 )2

L

=3mg+M

( 2gL )2

L

=9mg，环A对杆的压力F'=mg+9mg=10mg．
可见，无论B是奇数次经过最低点还是偶数次经过最低点，环A对杆的压力相等．
答：
（1）B离杆最近时的距离为

3

4

L；
（2）B到达最低点时B奇数次经过最低点时速度为

1

2

2gL

，方向向左；偶数次经过最低点时速度为：

2gL

，方向向右．
（3）B到达最低点时A对杆的压力大小为10mg．

点评：解决本题关键要把握B离杆最近和最远的条件，运用系统的水平方向动量守恒和机械能守恒列式求解，