Question

如图示，物体A从高h的p处沿光滑曲面从静止开始下滑，物体B用细线竖直悬挂在O点的钉子上，且刚好与水平面上的Q点接触．物体B可绕钉子在竖直面内运动．曲面上的Q点的水平部分为s．如果物体AB大小形状完全相同且m_A=m_B，A和B碰撞时无能量损失．求
（1）若水平部分光滑，为使碰撞结束后，物体A做方向向右的匀速直线运动，悬线长L应满足什么条件？
（2）若悬线长L=h，且物体A与水平面间的动摩擦因素为μ，AB可能碰撞多少次？

Answer 1

分析：当水平部分没有摩擦时，A球下滑到未碰B球前能量守恒，与B碰撞因无能量损失，而且质量相等，由动量守恒和能量守恒可得两球交换速度．A 停在Q处，B碰后可能做摆动，也可能饶 O点在竖直平面内做圆周运动．如果做摆动，则经一段时间，B反向与A相碰，使A又回到原来高度，B停在Q处，以后重复以上过程，如此继续下去，若B做圆周运动，B逆时针以O为圆心转一周后与A相碰，B停在Q处，A向右做匀速运动，根据动量守恒定律和能量守恒定律即可求解．

解答：解：（1）A与B碰撞前A的速度：mgh=mv_A²，v_A=

2gh

因为m_A=m_B，碰撞无能量损失，两球交换速度，得：v_A′=0，v_B′=v_A=

2gh

设B球到最高点的速度为v，B做圆周运动的临界条件：m_Bg=m_B

v2

L

①
又因

1

2

m_Bv_B^′2=

1

2

m_Bv²+m_Bg?2L ②
由①②得：L=0.4h
即L≤0.4h时，A、B碰后B才可能做圆周运动，再次碰撞后，物体A做方向向右的匀速直线运动
（2）由上面分析可知，当L=h时，A与B碰后，B只做摆动，因水平面粗糙，所以A在来回运动过程中动能要损失．设碰撞次数为n，由动能定理可得：
　　 m_Agh-nm_AgS=0
解得：n=

h+μs

2μs

答：（1）若水平部分光滑，为使碰撞结束后，物体A做方向向右的匀速直线运动，悬线长L应满足L≤0.4h；
（2）若悬线长L=h，且物体A与水平面间的动摩擦因素为μ，AB可能碰撞

h+μs

2μs

次．

点评：本题主要考查了动量守恒定律、能量守恒定律、动能定理的直接应用，要求同学们能正确分析两个小球的运动情况，难度适中．