题目内容

大原子反应堆中,用石墨(碳)做减速剂使快中子变为慢中子,已知碳核的质量是中子质量的12倍,假设中子与碳核的碰撞是弹性的(即碰撞中不计能量损失),而且碰撞前碳核是静止的,
试求:(1)设碰撞前中子的动能为E0,问经过一次碰撞后,中子的动能损失多少?
(2)至少经过多少次碰撞,中子的动能才能少于10-6E0(lg13=1.114,lg11=1.041)?
分析:(1)由题,中子与碳核发生弹性碰撞,遵守动量守恒和能量守恒,根据两个守恒定律列方程求出碰撞后中子的速度,再求解经过一次碰撞后,中子的动能损失.
(2)采用数学归纳法,分别分析中子与碳核第一次碰撞后、第二次碰撞后…,第n次碰撞后中子剩余的动能,寻找规律,列出通项,由数学知识求出次数.
解答:解:
(1)设中子的质量为m,速度为v0,碳核的质量为M0,二者碰撞后的速度分别为:v1、v,则
根据动量守恒定律和能量守恒定律得
    mv0=mv1+Mv          ①
1
2
m
v
2
0
=
1
2
m
v
2
1
+
1
2
M
v
2
 

由①②可得:v1=-
11
13
v0

碰撞一次,中子的动能损失为:△E=
1
2
m
v
2
0
-
1
2
m
v
2
1
=
1
2
m
v
2
0
[1-(
11
13
)2]=
48
169
E0

(2)中子与碳核第一次碰撞后剩余的动能为:E1=
1
2
m
v
2
1
=
1
2
m(-
11
13
v0)2]=(
11
13
)2E0

同理经过第二次碰撞后,中子剩余的动能为:E2=
1
2
m
v
2
2
=
1
2
m(
11
13
v1)2=(
11
13
)2×2E0


第n次碰撞后中子剩余的动能为:En=
1
2
m
v
2
n
=
1
2
m(
11
13
vn-1)2=(
11
13
)2nE0=10-6E0

(
11
13
)2nE0=10-6E0
,即(
11
13
)2n=10-6

两边取对数可得:2n(lg11-lg13)=-6
得:n=41.1≈42次
答:
(1)设碰撞前中子的动能为E0,经过一次碰撞后,中子的动能损失是
48
169
E0

(2)至少经过42次碰撞,中子的动能才能少于10-6E0
点评:微观粒子的碰撞往往是弹性碰撞,遵守动量守恒定律和能量守恒定律两大守恒定律.本题难点是运用数学方法求解物理问题.
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