Question

在地面上方足够高的地方，存在一个高度d=0.3m的“相互作用区域”（如图中划有虚线的部分）．一个小圆环A套在一根均匀直杆B上，A和B的质量均为m，若它们之间发生相对滑动时，会产生f=0.5mg的摩擦力．开始时A处于B的最下端，B竖直放置，A距“相互作用区域”的高度h=0.2m．让A和B一起从静止开始下落，只要A处于“相互作用区域”就会受到竖直向上的恒力F作用（F=2mg），而“相互作用区域”对处于其中的杆B不产生作用力．设杆B在下落过程中始终保持竖直，且杆的长度能够保证圆环A与杆不会分离．不计空气阻力，取g=10m/s²．求：
（1）杆B刚进人“相互作用区域”时的速度．
（2）圆环A通过“相互作用区域”所用的时间．
（3）A刚离开“相互作用区域”时，圆环A和直杆B的速度．
（4）假如直杆B着地时，A和B的速度刚好达到相同，这一速度是多少？

Answer 1

分析：（1）A和B一起静止下落至“相互作用区域”的过程，重力做功2mgh，根据动能定理有：2mgh=

1

2

?2m

v

2 1

，可求得杆B刚进人“相互作用区域”时的速度v₁．
（2）A在“相互作用区域”运动时，受到竖直向下的重力mg、滑动摩擦力f和竖直向上的恒力F作用．根据牛顿第二定律求出其加速度a_A1，由运动学公式d=

v 2 A - v 2 0

2 a   A1

和v_A=v₀+a_A1t₁，求出圆环A通过“相互作用区域”所用的时间．
（3）在“相互作用区域”运动时，B受到竖直向下的重力mg和竖直向上的滑动摩擦力f的作用，由牛顿第二定律求得B的加速度，由速度公式求出B离开“相互作用区域”时的速度，根据AB速度的大小，分析两物体的受力情况，确定摩擦力的方向，再由牛顿第二定律和运动学结合求解共同速度．

解答：解：（1）设A和B一起静止下落至“相互作用区域”的速度为v₁，根据动能定理有
    2mgh=

1

2

?2m

v

2 1

，
代入数据解得：v₁=2.0m/s 
（2）过程1：A在“相互作用区域”运动时，取方向向下为正方向，此过程中A受到竖直向下的重力mg、滑动摩擦力f和竖直向上的恒力F作用．
设加速度a_A1、末速度为v_A、运动时间为t₁，根据牛顿第二定律有：
a_A1=

mg+f-F

m

=-

1

2

g
根据运动学公式有：v_A=v₀+a_A1t₁，d=

v 2 A - v 2 0

2 a   A1

代入数据解出：t₁=0.2s   t₂=0.6s（不符题意，舍去）
（3）A离开“相互作用区域”时的速度为 v_A=v₀+a_A1t₁=1m/s  
B受到竖直向下的重力mg和竖直向上的滑动摩擦力f的作用
同理有：a_B1=

mg-f

m

=

1

2

g
v_B=v₀+a_B1t₁ 代入数据：v_B=3m/s
（4）过程2：A离开“相到作用区域”后，因为v_A＜v_B，所以A受到竖直向下的重力mg和滑动摩擦力f的作用，B受到竖直向下重力mg和竖直向上的滑动摩擦力f的作用．
设加速度分别为a_A2、a_B2，共同速度为v，运动时间为t₂
则有：a_A2=

mg+f

m

=

3

2

g，a_B2=

mg-f

m

=

1

2

g
又v=v_A+a_A2t₂，v=v_B+a_B2t₂
由上述四式代入数据解得：v=4m/s 
答：
（1）杆B刚进人“相互作用区域”时的速度是2m/s．
（2）圆环A通过“相互作用区域”所用的时间是0.2m/s．
（3）A刚离开“相互作用区域”时，圆环A和直杆B的速度分别是1m/s和3m/s．
（4）假如直杆B着地时，A和B的速度刚好达到相同，这一速度是4m/s．

点评：本题首先要根据两物体的受力情况，分析运动情况，其次运用牛顿第二定律、运动学公式解决匀变速直线运动，要注意寻找两物体之间的关系，比如速度相同，运动的同时性等．