Question

13．如图所示，在水平固定的光滑平板上，有一质量为m的质点P，与穿过中央小孔O的轻绳一端相连着．平板与小孔都是光滑的，用手拉着绳子下端，使质点做半径为a、角速度为ω₀的匀速圆周运动．若绳子突然放松至某一长度b而立即被拉紧，质点就能在半径为b的圆周上做匀速圆周运动，手的拉力是多少？

Answer 1

分析 由v=ωr知在a上线速度，绳子放开后，质点沿切线方向飞出，做匀速直线运动，到绳子突然张紧时，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动，由牛顿第二定律根据F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$求向心力．

解答 解：绳子放开后，球沿切线方向飞出，做匀速直线运动，线速度为：v=ω₀a；
小球沿圆弧切线方向飞出后，到达b轨道时，绳子突然张紧，将速度沿切线方向和半径方向正交分解，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动，由几何关系得到，有：v_b=vsinθ=v$\frac{a}{b}$=$\frac{{a}^{2}{ω}_{0}}{b}$
受力分析知拉力充当向心力，有：F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{{ω}_{0}^{2}{a}^{4}}{{b}^{2}}$
答：手的拉力是m$\frac{{ω}_{0}^{2}{a}^{4}}{{b}^{2}}$．

点评 解决本题的关键知道松手后，小球沿切线方向飞出，绷紧后，沿半径方向的分速度突然减为零，以切线方向的分速度绕b轨道匀速圆周运动．