Question

20．已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍．不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出（　　）

• A． 地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9：8
• B． 地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为81：16
• C． 靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8：9
• D． 地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为81：4

Answer 1

分析 根据质量之比和体积之比求出平均密度之比．根据万有引力等于重力，结合地球和月球的半径之比和质量之比求出表面的重力加速度之比．根据万有引力提供向心力得出周期之比、第一宇宙速度之比．

解答 解：A、根据$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$，因为地球质量与月球质量之比为81：1，半径之比为4：1，则体积之比64：1，可知地球的平均密度和月球的平均密度之比为81：64，故A错误．
B、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，表面的重力加速度g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，因为地球质量与月球质量之比为81：1，半径之比为4：1，则地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为81：16，故B正确．
C、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}$，因为半径之比为4：1，质量之比为81：1，则靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8：9，故C正确．
D、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，因为半径之比为4：1，质量之比为81：1，则地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为9：2．故D错误．
故选：BC．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．