Question

已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．
（1）求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v₁；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r；
（3）由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出密度表达式．

Answer 1

分析：（1）第一宇宙速度为卫星在地面附近轨道做匀速圆周运动的环绕速度，根据重力等于向心力列式求解；
（2）根据卫星受到的万有引力等于向心力和地面附近的重力加速度公式联立列式求解；
（3）根据地面附近的重力加速度公式先计算出地球质量，再估算密度．

解答：解：（1）重力等于向心力
mg=m

v 2 1

R

解得
v₁=

gR

即卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v₁为

gR

．
（2）若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即
mg=G

mM

R2

         ①
卫星受到的万有引力等于向心力
G

m′M

r2

=m′

4π2

T2

r   ②
由①②两式解得
r=

3	gR2T2 4π2

即卫星运行半径r为

3	gR2T2 4π2

．
（3）由①式解得
M=

gR2

G

因而
ρ=

M

V

=

gR2 G

4 3 πR3

=

3g

4πGR

即地球的密度为

3g

4πGR

．

点评：卫星类问题关键抓住引力提供向心力和地面附近重力加速度公式列式求解．