Question

(2010·全国Ⅰ卷)如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.

(1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T₁.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T₂.已知地球和月球的质量分别为5.98×10²⁴kg和7.35×10²²kg.求T₂与T₁两者平方之比．(结果保留3位小数)

Answer 1

解析：　(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有

F＝G①

由匀速圆周运动的规律得

F＝m²r②

F＝M²R③

由题意得L＝R＋r④

联立①②③④式得T＝2π.⑤

(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出

T₁＝2π⑥

式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则

G＝m′²L′⑦

式中，T₂为月球绕地心运动的周期．由⑦式得

T₂＝2π⑧

由⑥⑧式得²＝1＋

代入题给数据得＝²＝1.012.

答案：　(1)T＝2π　(2)＝1.012