Question

【题目】如图所示，竖直平面内固定有一半径R＝1m的光滑圆轨道AB和一倾角为45°且高为H＝5m的斜面CD，二者间通过一水平光滑平台BC相连，B点为圆轨道最低点与平台的切点。现将质量为m的一小球从圆轨道A点正上方h处（h大小可调）由静止释放，巳知重力加速度g＝10m/s2，且小球在点A时对圆轨道的压力总比在最低点B时对圆轨道的压力小3mg。

（1）若h＝0，求小球在B点的速度大小；

（2）若h＝0.8m，求小球落点到C点的距离；（结果可用根式表示）

（3）若在斜面中点竖直立一挡板，使得无论h为多大，小球不是越不过挡板，就是落在水平地面上，则挡板的最小长度为多少?

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）1.25m

【解析】（1）从释放小球至A点根据速度与位移关系有：

在A点，根据牛顿第二定律：

在B点，根据牛顿第二定律：

根据题意有：

故

若，则小球在B点的速度：；

（2）小球从B至C做匀速直线运动，从C点滑出后做平抛运动，若恰能落在D点则

水平方向：

竖直方向：

又因为斜面倾角为，则：

解得，对应的高度

若，小球将落在水平地面上，而小球在B点的速度：

小球做平抛运动竖直方向：，得：

则水平方向：

故小球落地点距C点的距离：；

（3）若要求无论h为多大，小球不是打到挡板上，就是落在水平地面上，临界情况是小球擦着挡板落在D点，经前面分析可知，此时在B点的临界速度：

则从C点至挡板最高点过程中水平方向：

竖直方向：

又：

解得：。