题目内容
【题目】如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一粒子源位于圆周上的M点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为m、电荷量为－q的粒子，不计粒子重力，N为圆周上另一点，半径OM和ON间的夹角为θ，且满足
。
(1)若某一粒子以速率v1沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，求此粒子的速率v1；
(2)若某一粒子以速率v2＝
沿与MO成70°角斜向上方射入磁场，求此粒子在磁场中运动的时间；
(3)若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为v3＝
，求磁场中有粒子通过的区域面积。（计算结果可用根式表示）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）某一粒子以速率v1，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，由几何关系求得其做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力求出入射速度v1；
（2）某一粒子以速率
，沿与MO成70°角斜向上方向射入磁场，由半径公式知，该粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半径，由几何关系知道，该粒子的轨迹和偏转角均能求出，从而求出该粒子运动的时间；
（3）若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为
，这些粒子在磁场中有相同的半径
，则圆心轨迹是以M为圆心、半径为的圆。试着画出极端情况下粒子能达到的区域，从而把粒子能到达的整个区域面积求出来。
（1）如图所示，由几何关系可知，
，解得：
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
，解得：
（2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，设轨迹半径为
洛伦兹力提供向心力：
，得
，其中，解得：
粒子沿与与MO成70°方向进入磁场，设粒子从区域边界P射出，其运动轨迹如图所示：
由图中几何关系可知粒子轨迹所对应的圆心角为α=160°
粒子运动周期：
则粒子在磁场中的运动的时间：
（3）粒子沿各个方向以进入磁场做匀速圆周时的轨迹半径都为，且不变，如图所示
由图可知，粒子在磁场中通过的面积
等于以
为圆心的扇形
的面积
、以M为圆心的扇形
的面积
和以O点为圆心的圆弧MQ与直线MQ围成的面积
之和。
，
，
所以：
