Question

4．如图所示，在真空室中平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称，PQ间的距离d=30cm．坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E=1.0N/C．一带电油滴在xOy平面内，从P点与x轴成30°的夹角射出，该油滴将做匀速直线运动，已知油滴的速度v=2.0m/s射出，所带电荷量q=1.0×10^-7C，重力加速度为g=10m/s²．
（1）求油滴的质量m．
（2）若在空间叠加一个垂直于xOy平面的圆形有界匀强磁场，使油滴通过Q点，且其运动轨迹关于y轴对称．已知磁场的磁感应强度大小为B=2.0T，求：
a．油滴在磁场中运动的时间t；
b．圆形磁场区域的最小面积S．

Answer 1

分析 （1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律即可求解；
（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，根据向心力公式、求出半径，进而求出周期，根据几何关系求出圆心角，继而求出粒子在磁场中运动的时间，由题意可知，油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等．根据几何关系和速度公式求解粒子在这两段运动过程中的时间，三段运动时间之和即为总时间，连接MN，当MN为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小，根据几何关系求出半径，S=πr²求解面积

解答 解：（1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律有：
qE-mg=0
所以$m=\frac{qE}{g}=1.0×1{0}^{-8}kg$
（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，设其做匀速圆周运动设圆周运动的半径为R、运动周期为T、油滴在磁场中运动的时间为t，根据牛顿第二定律：
所以$Bqv=\frac{{mv}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{mv}{Bq}=0.10m$
所以$T=\frac{2πr}{v}=0.1πs$
设带电油滴从M点进入磁场，从N点射出磁场，由于油滴的运动轨迹关于y轴对称，如图所示，根据几何关系可知∠MO'N=60°，所以，带电油滴在磁场中运动的时间
${t}_{2}=\frac{T}{6}=\frac{0.1π}{6}$s
由题意可知，油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等．根据几何关系可知，
$PM=NQ=\frac{\frac{d}{2}-Rsin30°}{cos30°}=\frac{0.2}{3}\sqrt{3}m$
所以油滴在P到M和N到Q过程中的运动时间为：${t}_{1}={t}_{3}=\frac{PM}{v}=\frac{0.1}{3}\sqrt{3}$s
则油滴从P到Q运动的时间为：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=（\frac{0.2}{3}\sqrt{3}+\frac{0.1π}{6}）s=0.17s$
（3）连接MN，当MN为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小，如图所示．根据几何关系圆形磁场的半径
r=Rsin30°=0.05m
其面积为：S=πr²=0.0025πm²=7.9×10^-3m²．
答：：（1）求油滴的质量m为1.0×10^-8kg．
（2）a．油滴在磁场中运动的时间为0.17s；
b．圆形磁场区域的最小面积S为7.9×10^-3m²．

点评 本题关键是先确定油滴的运动情况，并画出运动轨迹，然后逐段逐段分析，匀速圆周运动阶段洛伦兹力提供向心力，并结合几何知识求解，难度适中．