Question

（2003?珠海模拟）如图所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l=0.2m，在导轨的一端接有阻值为R=0.5Ω的电阻，在X≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B=0.5T．一质量为m=0.1kg的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v₀=2m/s的初速度进人磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力 F的共同作用下作匀变速直线运动，加速度大小为a=2m/s²，方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好，求：
（1）电流为零时金属杆所处的位置；
（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力 F的大小和方向；
（3）保持其他条件不变，而初速度v₀取不同值，求开始时F的方向与初速度v₀取值的关系．

Answer 1

分析：（1）电流为0时，电动势为0，切割的速度为0．即知电流为0的位置为金属杆匀减速运动速度为0的位置，根据匀变速运动的公式求出金属杆的位移．
（2）当速度为v₀时，电动势最大，电流最大，根据E=BLv，结合闭合电路欧姆定律，可以求出最大电流．从而可以求出电流为最大值的一半时所受的安培力，根据牛顿第二定律求出外力的大小和方向．（要考虑金属杆的运动方向）
（3）开始时，金属杆所受的安培力FA=BIL=

B2L2v0

R

若F_A＜ma，F方向与x轴相反；F_A＞ma，F方向与x轴相同．

解答：解：（1）感应电动势E=Blv，I=

E

R

当I=0时  v=0
由 2ax=v2-v02得：
金属杆的位移为：x=

v02

2a

=

22

2×2

m=1m                                 
（2）金属棒速度最大时最大电流 为 Im=

BLv0

R

 
I′=

Im

2

=

BLv0

2R

此时安培力为：FA=BI′L=

B2L2v0

2R

=0.02N                        
向右运动时由牛顿第二定律得：F+F_A=ma
即：F=ma-F_A=0.18N       方向 与x轴相反                 
向左运动时由牛顿第二定律得：F-F_A=ma
F=ma+F_A=0.22N       方向与x轴相反                 
（3）开始时 v=v₀，此时安培力为：FA′=BImL=

B2L2v0

R

由牛顿第二定律得：F+F_A′=ma，F=ma-F_A′=ma-

B2L2v0

R

当v₀＜

maR

B2L2

=10m/s  时，F＞0  方向与x轴相反              
   当v₀＞

maR

B2L2

=10m/s   时，F＜0  方向与x轴相同．
答：（1）电流为零时金属杆所处的位置x=1m；
（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力 F的大小为0.18N，方向 与x轴相反，或0.22N，方向与x轴相反；
（3）当v₀＜

maR

B2L2

=10m/s 时，F＞0  方向与x轴相反    
当v₀＞

maR

B2L2

=10m/s 时，F＜0  方向与x轴相同．

点评：解决本题的关键正确地对金属杆进行受力分析，灵活运用牛顿第二定律．以及掌握导体棒切割磁感线产生的感应电动势E=BLv．