Question

如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O₁（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场．在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向且速度方向沿x轴正方向射入第一象限，粒子恰好从O₁点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力．
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）求粒子从O点进入磁场到最终离开磁场所通过的路程．
（3）若粒子以速度v从O点垂直于磁场方向且与x轴正方向的夹角θ=30⁰射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t．

Answer 1

分析：（1）根据几何关系先得到圆心、半径，再根据洛伦兹力提供向心力列式求解；
（2）粒子离开磁场后，进入电场，根据动能定理列式求解粒子在电场中的位移；粒子进入电场到达最高点后，又沿原路返回磁场，再得到第二次圆心和射出点，最后得到总路程；
（3）粒子在磁场中做圆周运动，先得到第一次圆心和射出点，进入电场后，又沿原路返回，再得到第二次圆心和射出点，最后得到总时间．

解答：解：（1）设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R，根据牛顿第二定律，有qvB=

mv2

R

粒子自A点射出，由几何知识得：R=a
解得  B=

mv

qa

即磁感应强度B的大小为

mv

qa

．
（2）粒子从A点向上在电场中做匀减运动，
设在电场中减速的距离为y₁
由动能定理，得到-Eqy1=0-

1

2

mv2
解得y1=

mv2

2qE

粒子在电场中达到最高点后，在电场力的作用下竖直向下做匀加速直线运动，并从A点再次进入磁场，根据粒子在磁场中运动的电场线可得，粒子将从Q点离开磁场．所以粒子从O点进入磁场到最终离开磁场所通过的路程为粒子在磁场中运动的两个

1

4

圆弧与在电场中的两段位移的和．如图1所示．即：
S=2y1+2×

1

4

?2πR=

mv2

qE

+πa

（3）若粒子以速度v从O点垂直于磁场方向且与x轴正方向的夹角θ=30°射入第一象限，粒子的运动轨迹如下图

粒子在磁场中做圆运动的周期  T=

2πR

v

=

2πa

v

粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO₁PO₂构成菱形，故粒子从P点的出射方向与y轴平行，粒子由O到P所对应的圆心角为：θ₁=60°
由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离
s₁=a?cosθ
粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间：t1=

2mv

qE

粒子由P点第2次进入磁场，由Q点射出，PO₁QO₃ 构成菱形，
由几何知识可知Q点在x轴上，粒子由P到Q的偏向角为：θ₂=120°
则  θ₁+θ₂=π
粒子先后在磁场中运动的总时间：t2=

1

2

T=

πa

v

粒子在场区之间做匀速运动的时间：t3=

2(a-s1)

v

解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t=t1+t2+t3=

(2+π- 3 )a

v

+

2mv

qE

故粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t为t=

(2+π- 3 )a

v

+

2mv

qE

．
答：（1）磁感应强度B的大小为

mv

qa

；
（2）粒子从O点进入磁场到最终离开磁场所通过的路程为S=

mv2

qE

+πa．
（3）粒子以速度v从O点垂直于磁场方向且与x轴正方向的夹角θ=30°射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间为

(2+π- 3 )a

v

+

2mv

qE

．

点评：本题关键先确定圆心、半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列式求解；第三问关键先根据题意，分析后画出物体的运动轨迹，然后再列式计算．