题目内容
材料的电阻率ρ随温度变化的规律为ρ＝ρ0(1+αt),其中α称为电阻温度系数，ρ0是材料在t=0 ℃时的电阻率。在一的温度范围内α是与温度无关的常量。金属的电阻一般随温度的增加而增加，具有正温度系数；而某些非金属如碳等则相反，具有负温度系数。利用具有正负温度系数的两种材料的互补特性，可制成阻值在一定温度范围内不随温度变化的电阻。已知:在0 ℃时，铜的电阻率为1.7×10-8 Ω·m,碳的电阻率为3.5×10-5 Ω·m；在0 ℃附近，铜的电阻温度系数为3.9×10-3 ℃-1,碳的电阻温度系数为-5.0×10-4 ℃-1。将横截面积相同的碳棒与铜棒串接成长1.0 m的导体，要求其电阻在0 ℃附近不随温度变化，求所需碳棒的长度(忽略碳棒和铜棒的尺寸随温度的变化)。
分析:主要考查电阻定律、电阻与温度的关系。
解析:设所需碳棒的长度为L1，电阻率为ρ1,电阻温度系数为α1;铜棒的长度为L2，电阻率为ρ2，电阻温度系数为α2。根据题意有
ρ1=ρ10(1+α1t)①
ρ2=ρ20(1+α2t)②
式中ρ10、ρ20分别为碳和铜在0 ℃时的电阻率。
设碳棒的电阻为R1，铜棒的电阻为R2，有
③
④
式中S为碳棒与铜棒的横截面积。
碳棒与铜棒连接成的导体的总电阻和总长度分别为
R=R1+R2⑤
L0=L1+L2⑥
式中L0=1.0 m。
联立以上各式得
⑦
要使R不随t变化，⑦式中t的系数必须为零，即
ρ10α1L1+ρ20α2L2=0⑧
联立⑥⑧式得
⑨
代入数据解得
L1=3.8×10-3 m。⑩
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