Question

19．单匝正方形线圈abcd的一半放在具有理想边界的匀强磁场中，线圈边长为L，电阻为R，匀强磁场的磁感应强度为B，线圈轴线OO′与磁场边界重合．
（1）若线圈以角速度ω绕轴线OO′匀速转动（ab边向纸外，cd边向纸内），在线圈转动一周的时间内，线圈上产生的焦耳热为多少？
（2）若线圈以角速度ω绕轴线OO′匀速转动（ab边向纸外，cd边向纸内），在线圈转动一周的时间内，请通过计算写出cd两端电势差U_cd随时间的表达式并作出Ucd随时间的表达式并作出U_cd随时间变化的示意图．

Answer 1

分析 当线圈与磁场平行时感应电动势最大，由公式E_m=BSω求解感应电动势的最大值．图中是中性面，线框在匀强磁场中匀速转动，产生正弦式交变电流，根据e=E_msinωt可列出感应电动势的瞬时表达式．

解答 解：（1）当线圈与磁场平行时感应电动势最大，最大值为：E_m=BSω=B$\frac{1}{2}{L}^{2}$ω，
感应电动势的有效值为E=$\frac{\sqrt{2}}{2}{E}_{m}$，感应电流有效值为I=$\frac{E}{R+r}$，R产生的热量为：Q=I²RT，T=$\frac{2π}{ω}$，
联立得：Q=$\frac{π{B}^{2}ω{L}^{4}R}{4（R+r）^{2}}$．
（2）当ab在磁场中时，cd两端的电压大小为：U_cd=$\frac{{E}_{m}}{4}$=$\frac{1}{8}$BL²ωsinωt；
d点的电势高于c点；故表达式为：U_cd=-$\frac{1}{8}$BL²ωsinωt
当cd在磁场中时，cd端的电压为电源的路端电压为：U_cd=$\frac{3}{4}{E}_{m}$sinωt=$\frac{3}{8}$BL²ωsinωt；d点电势高于点；
对应的图象如图所示：
答：（1）一周内产生的焦耳热为$\frac{π{B}^{2}ω{L}^{4}R}{4（R+r）^{2}}$；
（2）如图所示；

点评 本题考查交流电的产生，要注意正确掌握交流电的表达式及图象应用，本题中第二问要注意明确cd作为电源和作为用电器的不同之处！