Question

宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行。设每个星体的质量均为m．
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度v和周期T．
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，试求第二种形式下星体间的距离r应为多少？[设三个星体做圆周运动的半径为(未知)]

Answer 1

(1)     (2)

（1）在第一种形式下，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有：，（1分）
（1分）
解得  （1分）
而 （1分）
解得    （1分）
（2）设第二种形式下，三个星体做圆周运动的半径为
由于星体做圆周运动所需的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律有
（2分）
解得 （2分）