Question

如图16-5-8所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上.现给中间的小球B一个水平初速度v₀，方向与绳垂直.小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长.求：

图16-5-8

(1)当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度；

(2)当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度；

(3)运动过程中小球A的最大动能E_KA和此时两根绳的夹角θ；

(4)当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小.

 

Answer 1

解析：根据题意，分析各状态的速度、动量和能量特点，找出各过程遵循的规律，挖掘隐含条件是解决综合性题目的关键.根据动量守恒定律、机械能守恒定律进行计算.

(1)设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为v_B，考虑到对称性及绳的不可伸长特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也为v_B，由动量守恒定律，得mv₀=3mv_B,由此解得v_b=v₀.

(2)当三个小球再次处在同一直线上时，则由动量守恒定律和机械能守恒定律，得

mv₀=mv_B+2mv_A

mv₀²=mv_B²+2×mv_A²

解得v_B=-v₀,v_A=v₀(三球再次处于同一直线)  v_B=v₀,v_A=0(初始状态，舍去)，所以，三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度为v_B=-v₀(负号表明与初速度反向).

(3)当小球A的动能最大时，小球B的速度为零.设此时小球A、C的速度大小为u，两根绳间的夹角为θ(如下图)，则仍由动量守恒定律和机械能守恒定律，得

mv₀=2musin

mv₀²=2×mu²

另外，E_KA=mu²，由此可解得，小球A的最大动能为E_KA=mv₀²，此时两根绳间夹角为θ=90°.

(4)小球A、C均以半径L绕小球B做圆周运动，当三个小球处在同一直线上时，以小球B为参考系(小球B的加速度为0，为惯性参考系)，小球A(C)相对于小球B的速度均为v=|v_A-v_B|=v₀,所以，此时绳中拉力大小为F=m=m.