Question

在动摩擦因数m＝0.2的粗糙绝缘足够长的水平滑漕中，长为2L的绝缘轻质细杆两端各连接一个质量均为m的带电小球A和B，如图为俯视图（槽两侧光滑）。A球的电荷量为＋2q，B球的电荷量为－3q（均可视为质点，也不考虑两者间相互作用的库仑力）。现让A处于如图所示的有界匀强电场区域MPQN内，已知虚线MP恰位于细杆的中垂线，MP和NQ的距离为3L，匀强电场的场强大小为E＝1.2mg/q，方向水平向右。释放带电系统，让A、B从静止开始运动（忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响）。求：

（1）小球B第一次到达电场边界MP所用的时间；

（2）小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小

（3）带电系统运动过程中，B球电势能增加量的最大值。

Answer 1

（1）带电系统开始运动后，先向右加速运动；当B进入电场区时，开始做减速运动。设B进入电场前的过程中，系统的加速度为a₁，

由牛顿第二定律：2Eq－m2mg＝2ma₁ 　　　即 a₁=g　 （2分）

B刚进入电场时，由L＝a₁t₁²　　　 可得 　　（2分）

（2）当A刚滑到右边界时，电场力对系统做功为

W₁＝2Eq?2L＋（—3Eq?L）＝EqL 　　

摩擦力对系统做功为W₂＝—＝—0.8mmgL

W_总= EqL—0.8mgL=0.4 mgL　　 故A球从右端滑出。 (2分）。

设B从静止到刚进入电场的速度为v₁，

由＝2a₁L　　 可得v₁＝　 （2分）

设B进入电场后，系统的加速度为a₂，由牛顿第二定律

2Eq－3Eq－2mg＝2ma₂　　

a₂＝－0.8g　　　　　　　 （2分）

系统做匀减速运动，设小球A第一次离开电场边界NQ时的速度大小为v₂；

由 —=2 a2L　　　 （2分）

可得　　 （2分）

（3）当带电系统速度第一次为零，此时A已经到达右边界NQ外，B克服电场力做的功最多，B增加的电势能最多　　　 （2分）

设此时A离右边界NQ的距离为x，由动能定理：

2Eq?2L — 3Eq?（L＋x）—2L+x)=0　　　 （2分）

可得x=0.1L　 　　　　　

所以B电势能增加的最大值 DW₁＝3Eq?1.1L＝3.3EqL =3.96mgL　 （2分）