Question

如图所示，由A、B两平行金属板构成的电容器放置在真空中，电容为C，原来不带电．电容器的A板接地，并且中心有一个小孔，通过这个小孔向电容器中射入电子，射入的方向垂直于极板，射入的速度为v₀，如果电子的发射是一个一个单独进行的，即第一个电子到达B板后再发射第二个电子，并且所有到达板的电子都留在B板上．随着电子的射入，两极板间的电势差逐渐增加，直至达到一个稳定值，已知电子的质量为m，电荷量为e，电子所受的重力忽略不计，两板的距离为l．
（1）当板上聚集了n个射来的电子时，两板间电场的场强E多大？
（2）最多能有多少个电子到达B板？
（3）到达B板的第一个电子在两板间运动的时间和最后一个电子在两板间运动的时间相差多少？

Answer 1

分析：（1）当B板吸收了N个电子时电容器所带电荷量为Q=Ne，由电容的定义式C=

Q

U

求电势差，由E=

U

d

求出场强E．．
（2）电子经过U₀的电压加速后，进入A、B板间的动能为eU₀，进入A、B板间电场后做减速运动．随着B板电荷增加，电子在A、B间的加速度越来越大，直至电子到达B板的速度为零，此时A、B板间的电压达到最大值U_m根据动能定理求解．
（3）第一个电子在两板间作匀速运动，最后一个电子在两板间作匀减速运动，到达B板时速度为零，由运动学求解时间差．

解答：解：（1）当B板上聚集了n个射来的电子时，两板间的电势差为：
  U=

Q

C

=

ne

C

内部电场为匀强电场，场强为：
 E=

U

l

=

ne

Cl

（2）设最多能聚集N+1个电子，第N+1个射入的电子到达B板时速度减为零．此时两板间的电势差为：
  U₁=

Q1

C

=

Ne

C

对此后再射入的电子，根据动能定理有
-eU₁=0-

1

2

mv

2 0

联立解得：N=

Cm v 2 0

2e2

 
故最多能到达B板的电子数为N_m=N+1=

Cm v 2 0

2e2

+1
（3）第一个电子在两板间作匀速运动，运动时间为：
  t₁=

l

v0

最后一个电子在两板间作匀减速运动，到达B板时速度为零，运动时间为：
t₂=

l

. v

=

2l

v0

二者时间差为：
△t=t₂-t₁=

l

v0

．
答：
（1）当板上聚集了n个射来的电子时，两板间电场的场强E为

ne

Cl

．
（2）最多能有

Cm v 2 0

2e2

+1个电子到达B板．
（3）到达B板的第一个电子在两板间运动的时间和最后一个电子在两板间运动的时间相差为

l

v0

．

点评：本题是带电粒子在电场中直线加速和减速与电容器有关知识的综合，关键要掌握电容的定义式C=

Q

U

，并运用动能定理求解．