Question

（2010?东城区三模）如图所示，粒子源S可以不断地产生质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子从小孔O₁漂进（不计初速）一个水平方向的加速电场，再经小孔0₂进入相互正交的匀强电场和匀强磁场区域，其电场强度大小为E，磁感应强度大小为B₁，方向如图．虚线PQ、MN之间存在着水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B₂（方向图中未画出）．现有n块折成直角的相同硬质塑料板abc（不带电，宽度很窄，厚度不计）紧靠在一起，恰好放置在PQ、MN之间（截面图如图），ab=bc=L，θ=45°．现使粒子能沿水平虚线0₂0₃进入PQ、MN之间的区域．假设粒子的重力、空气阻力均不计，粒子与板相碰后，速率不变，方向变化遵守光的反射定律．求：

（1）加速电压U
（2）粒子在B₂磁场中运动的总时间t；
（3）粒子在PQ、MN之间运动的平均速度大小v，．

Answer 1

分析：（1）粒子经过复合场时，电场力向下，洛伦兹力向上，都与速度垂直，故合力为零，根据平衡条件列式求解速度；根据动能定理研究加速过程，得到加速电压U．
（2）（3）粒子与磁场第一次碰撞后，速度向上，洛伦兹力提供向心力，在与ac边垂直的平面内做匀速圆周运动，经过一圈后，与ab边内侧碰撞，碰撞后水平向右运动，与bc边二次碰撞后，在与ac边垂直的平面内做再次匀速圆周运动，又经过一圈后，与b边外侧碰撞，水平向右离开磁场．先分析出运动轨迹，再分匀速直线运动和匀速圆周运动讨论，对于匀速圆周运动，先计算半径和周期，再根据轨迹计算平均速度．

解答：解：（1）设粒子被加速电场加速后的速率为v．粒子在正交电磁场中做匀速直线运动，则有Eq=qvB₁，
则v=

E

B1

由动能定理得 qU=

1

2

mv²
加速电压为U=

mE2

2q B 2 1

（2）粒子从O₃以速率v进入PQ、MN之间的区域，先水平向右做匀速运动，打到ab板上，以大小为v的速度垂直于B₂磁场方向做半径为R的匀速圆周运动，
运动一周后打到 ab板的下表面，随后又以大小为v的速度方向向右做匀速运动…
     qvB₂=m

v2

R

     T=

2πR

v

得 周期T=

2πm

qB2

粒子在磁场B₂中共碰到2n块直板，做圆周运动所需的总时间为 t₁=2nT
粒子进入磁场B₂中在ac方向的总位移为  s=n?

2

L
对应的时间为 t1=

s

v

所以粒子在B₂磁场中运动的总时间t=t₁+t₂=

4αnm

qB2

+

2 nB1L

E

；
（3）粒子在PQ、MN之间运动的平均速度

.

v

=

s

v

=

2 qEB2L

4πmE+ 2 qB1B2L

．
答：
（1）加速电压U是

mE2

2q B 2 1

．
（2）粒子在B₂磁场中运动的总时间t是

4αnm

qB2

+

2 nB1L

E

．
（3）粒子在PQ、MN之间运动的平均速度大小是

2 qEB2L

4πmE+ 2 qB1B2L

．

点评：本题中的复合场具有速度选择的功能，进入磁场区域后，根据动力学规律先确定运动轨迹，再进行计算．