Question

如图所示，在倾角θ=30°的斜面上放置一段凹槽B，B与斜面间的动摩擦因数μ=

3

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，槽内靠近右侧壁处有一小物块A（可视为质点），它到凹槽左侧壁的距离d=0.10m．A、B的质量都为m=2.0kg，B与斜面间的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，不计A、B之间的摩擦，斜面足够长．现同时由静止释放A、B，经过一段时间，A与B的侧壁发生碰撞，碰撞过程不计机械能损失，碰撞时间极短．取g=10m/s²．求：
（1）画出凹槽B运动的速度v随时间t的变化图象；
（2）物块A与凹槽B的左侧壁第n次碰撞后瞬间A、B的速度大小；
（3）从初始位置到物块A与凹槽B的左侧壁发生第n次碰撞时B的位移大小．

Answer 1

分析：（1）对B进行受力分析，判断B的运动状态，释放后A做匀加速直线运动，A、B两物体质量相等，发生弹性碰撞时它们交换速度，由牛顿第二定律及运动学公式求出物体的速度，然后画出v-t图象．
（2）由（1）求出A、B碰撞n次后，A、B的速度．
（3）根据A、B的运动过程，应用v-t图象可以求出B的位移．

解答：解（1）B与斜面间的滑动摩擦力为：f=μ×2mgcos30°=

1

2

mg
B所受重力沿斜面向下的分力为：G₁=mgsin30°=

1

2

mg
B所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，B沿斜面的分力与最大静摩擦力相等，释放B后，B静止；
释放A后，A做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：mgsin30°=ma，a=5m/s²
由匀变速运动的速度位移公式可得：v_A1²-0=2ad，A与B碰撞前A的速度为：v_A1=1m/s；
A、B碰撞时动量守恒，A、B碰撞时不计机械能损失，碰撞是弹性碰撞，由于A、B质量相等，碰撞时A、B交换速度，碰后A速度为零，B的速度为：v_B1=1m/s，碰后B做匀速直线运动，A做初速度为零的匀加速运动，
设经过时间t后，A、B速度相等，v_A2=at，t=0.2s，A的位移为：s_A1=

1

2

at²=0.10m=d，此时间内B沿斜面方向的位移为：SB1=vB1t=0.2m，故此时刻AB的相对位置重新回到初始状态，A相对于B物体的相对运动仍为初速度为零、加速度为a=gsin30°的匀加速直线运动，可知再经过t=0.2s发生第二次碰撞，碰时A球速度为：vA3=vA2+at=0.2+5×0.2m/s=0.3m/s，碰后两球再次交换速度，B的速度改为0.3m/s，A的速度人为0.2m/s，之后重复以上的运动过程，每过0.4s碰撞一次，碰后B的速度每次增加1m/s，图象如下
（2）因为B与斜面间的滑动摩擦力f=μ×2mgcos30°=

1

2

mg，B所受重力沿斜面向下的分力G₁=mgsin30°=

1

2

mg，B所受最大静摩擦力等于滑动摩擦力，B沿斜面的分力与最大静摩擦力相等，释放B后，B静止；
释放A后，A做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：
mgsin30°=ma，
a=5m/s²，
由匀变速运动的速度位移公式可得：v_A1²-0=2ad，
A与B碰撞前A的速度v_A1=1m/s；
A、B碰撞时动量守恒，A、B碰撞时不计机械能损失，碰撞是弹性碰撞，由于A、B质量相等，碰撞时A、B交换速度，碰后A速度为零，B的速度为：
v_B1=1m/s，
碰后B做匀速直线运动，A做初速度为零的匀加速运动，设经过时间t后，A、B速度相等，
v_A2=at，
t=0.2s，
A的位移s_A1=

1

2

at²=0.10m=d，
此时间内B沿斜面方向的位移为：
SB1=vB1t=0.2m，
故此时刻AB的相对位置重新回到初始状态，A相对于B物体的相对运动仍为初速度为零、加速度为a=gsin30°的匀加速直线运动，可知再经过t=0.2s发生第二次碰撞，碰时A球速度为：
vA3=vA2+at=1+5×0.2m/s=2m/s
碰后两球再次交换速度，B的速度改为2m/s，A的速度改为1m/s，之后重复以上的运动过程，每过0.4s碰撞一次，碰后B的速度每次增加1m/s
故：v_An=（n-1）m/s，v_Bn=n m/s
（3）由v--t图象得，从初始位置到物块A与凹槽B的左侧壁发生第n次碰撞时B的位移大小为：
x_总=0×0.2+1×0.4+2×0.4+---+（n-1）×0.4=0.2n²-0.2n
答：（1）画出凹槽B运动的速度v随时间t的变化图象为：
（2）物块A与凹槽B的左侧壁第n次碰撞后瞬间A、B的速度大小为v_An=（n-1）m/s，v_Bn=n m/s
（3）从初始位置到物块A与凹槽B的左侧壁发生第n次碰撞时B的位移大小为0.2n²-0.2n

点评：本题是复杂的力学综合题，分析运动情况，把握每个过程的物理规律是关键．对于A、B的碰撞过程，属于弹性碰撞过程，两者质量相等，交换速度．此外注意应用图象求解位移是个好方法