题目内容

磁悬浮铁路系统是一种新型的交通运输系统,它是利用电磁系统产生的排斥力将车辆托起,使整个列车悬浮在导轨上,同时利用电磁力进行驱动,采用直线电机模式获得驱动力的列车可简化为如下情境:固定在列车下端的矩形金属框随车平移;轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场,磁感应强度沿Ox方向按正弦规律分布,最大值为B0,其空间变化周期为2d,整个磁场以速度v1沿Ox方向向前高速匀速平移,列车以速度V2沿Ox方向匀速行驶,且v1>v2,从而产生感应电流,受到的安培力即为列车向前行驶的驱动力.设金属框电阻为R,长PQ=L,宽NP=d,求:

(1)如图为列车匀速行驶时的某一时刻,设为t=0时刻,MN、PQ均处于磁感应强度最大值处,此时金属框内感应电流的大小和方向.
(2)从t=0时刻起列车匀速行驶S距离的过程中,矩形金属线框产生的焦耳热.
(3)列车匀速行驶时所获得的最大驱动力的大小,并定性画出驱动力功率随时间变化在2d/v1-v2时间内的关系图线.
分析:(1)由题v1>v2,线框中MN、PQ都切割磁感线,相对于磁场向左运动,从而产生感应电流,感应电流方向由右手定则判断.线框相对于磁场速度大小为v1-v2,MN、PQ都产生感应电动势,可公式求出感应电动势和感应电流.
(2)列车匀速行驶过程中,线框中产生正弦式交变电流,根据有效值求出金属线框产生的焦耳热.
(3)当MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且方向相反处时,线框中产生的感应电动势最大,感应电流最大,金属框左右两边所受安培力最大,列车获得的驱动力最大,根据电磁感应知识求出最大驱动力表达式和其功率表达式.
解答:解:(1)磁场沿x轴方向运动,v1>v2,金属框相对于磁场向x轴负方向运动,MN、PQ所在处磁感应强度方向相反,
         金属框中产生的总电动势为E=2B0L(v1-v2
         感应电流I=
E
R
=
2B0L(v1-v2)
R

         根据右手定则,感应电流方向为N→M→Q→P→N
   (2)由题意,金属框t=0时刻所在处磁感应强度最大.则设经过时间为t,金属框MN、PQ所在处磁感应强度大小
       均为B,则B=B0cosωt,ω=
T
,又T=
2d
v1-v2

       得到ω=
π(v1-v2)
d

      电流的瞬时值为i=
2B0L(v1-v2)
R
cos
π(v1-v2)
d

      可知,该电流为正弦式交变电流,其有效值为
         I=
Im
2
,Im=
2B0L(v1-v2)
R

      列车匀速行驶S距离经历时间t=
S
v2
 
   故矩形金属线框产生的焦耳热Q=I2Rt
   将上述各式代入,得Q=
2
B
2
0
L2S(v1-v2)2
Rv2

(3)为使列车获得最大的驱动力,MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且方向相反处,产生的感应电动势最大,感应电流最大,金属框左右两边所受安培力最大.
   MN、PQ所受安培力大小相等,FMN=FPQ=B0ImL
得到最大驱动力F=2FMN=
4
B
2
0
L
2
(v1-v2)
R

由第(2)问可知,
经过t时刻B=B0cosωt=B0cos
π(v1-v2)
d
t

         i=
2B0L(v1-v2)
R
cos
π(v1-v2)
d

得到驱动力瞬时值表达式是
        F=2BiL=
4
B
2
0
L2(v1-v2)
R
cos2
π(v1-v2)
d
t

驱动力功率的瞬时值P=Fv2
得到P=
2
B
2
0
L
2
v2
R
【1+cos
2π(v1-v2)
d
t】

则驱动力功率随时间变化在
2d
v1-v2
时间内的关系图线.

答:(1)金属框内感应电流的大小
E
R
2B0L(v1-v2)
R
,方向为N→M→Q→P→N.
    (2)从t=0时刻起列车匀速行驶S距离的过程中,矩形金属线框产生的焦耳热Q为
2
B
2
0
L2S(v1-v2)2
Rv2

    (3)列车匀速行驶时所获得的最大驱动力的大小为
4
B
2
0
L
2
(v1-v2)
R
,驱动力功率随时间变化在2d/v1-v2时间内的关系图线如上图.
点评:本题是电磁学知识在科学技术中的应用,是复杂的电磁感应现象.通过本题的研究可以培养分析问题和解决实际问题的能力.
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