Question

如图装置，AB段为倾角为37°的粗糙斜面，动摩擦因数μ₁为0.25，BC、CE段光滑，CD为一光滑的圆形轨道，半径R=0.32m，物体在C点能顺利进出圆形轨道而不损失机械能．EF为一逆时针匀速转动的足够长的传送带，动摩擦因数μ₂为0.2．现从AB面上距地面H处轻轻放上一质量m=1kg的小物块（视为质点）．物块经过CD轨道后滑向传送带．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）现将物体从H=2.7m处释放，求①第一次经过B点时的速度大小，②第一次经过D点时轨道对物块的压力大小．
（2）若传送带的速度为V=5m/s．物体仍从H=2.7m处释放，试计算说明物体能否两次通过最高点D？若能通过，请计算第二次通过最高点D点时轨道对物块的压力大小．
（3）若传送带速度大小可在释放物块前预先调节．将物体从H=2.7m处释放，从释放到第二次进入圆轨道过程的过程中，试分析物块和各接触面摩擦至少要产生多少热量才能保证物体能够两次到达D点？
（4）现将传送带速度调节至一足够大速度值，将物体从AB某处释放后，第10次进入圆轨道时仍不脱离圆轨道，试分析释放物块的高度有何要求？

Answer 1

分析：（1）物体由H处下落到达B端，由动能定理求解第一次经过B点时的速度大小．运用动能定理求出物体到达D点时速度，由牛顿第二定律求解轨道对物块的压力大小．
（2）由动能定理求出物体若能通过D点在水平面处的最小速度．物体运动到由E运动到D点，运用动能定理求出物体通过D点的速度，再由牛顿第二定律求解第二次通过最高点D点时轨道对物块的压力．
（3）画出物体滑上传送带后的速度图象，求出物体相对传送带的位移，即可求得热量．
（4）分上升和下滑两个过程，由动能定理分析每次滑上滑下斜面后，动能变为原来多少倍，求出第十次滑上D点时，从经过EC滑上圆轨道的速度最小值．再运用动能定理和临界速度结合求解．

解答：解：（1）物体由H处下落到达B端，由动能定理：mgH-μmgcos37°?

H

sin37°

=

1

2

m

v

2 B

代入数据解得：v_B=6m/s
物体运动到由B运动到D点：-2mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvB2
D点有：N1+mg=m

vD2

R

得：N₁=62.5N
（2）物体若能通过D点在水平面处的最小速度为v₀，则由动能定理：-2mgR=

1

2

m(

gR

)2-

1

2

mv02
得：v₀=4m/s
物体上传送带时速度为6m/s，上传送带后先减速为0，再反向加速：5m/s＜6m/s，则反向时E的速度为5m/s．由5m/s＞4m/s，物体能够到达D点．
物体运动到由E运动到D点：-2mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvE2
D点有：N2+mg=m

vD2

R

得：N₂=28.125N
（3）物体运动若要第二次到达D点，从传送带上返回E点时，速度至少为4m/s，则传送带的速度至少为4m/s．
物体滑上传送带后的运动图象可由下图表示

可知传送带速度越大两者的相对位移越小．综合以上分析传送带的速度为4m/s时，在传送带上放热最少．而在斜面上运动时，摩擦放热为定值．综上所述：
在斜面上摩擦放热：Q₁=μ₁mgcos37°?

h

sin37°

=9J
物体在传送带上运动：Q₂=μ₂mg△x=50J
则摩擦总共放热：Q=Q₁+Q₂=59J
（4）若物体不脱离圆轨道形式有两种：一种是全部通过D点，一种是物块滑到CD的圆心高度以下．由图（3）的图象可知，由于传动速度足够大，则物体无论以什么样的速度滑上传送带，返回的速度均为原来的速度，物体的机械能损失全部发生在斜面上．
一、物体十次全部能经过D点：
设某次物体从左端滑上斜面理速度为v_n，滑上又滑下后的速度为v_n+1．
由能量守恒得：
  上升过程：

1

2

m

v

2 n

=mgh+μmgcos37°?

h

sin37°

  下滑过程：

1

2

m

v

2 n+1

=mgh-μmgcos37°?

h

sin37°

得：

v 2 n

v 2 n+1

=

2

1

即每次滑上滑下斜面后，动能变为原来的

1

2

，数列为等比数列．
第十次滑上D点时，从经过EC滑上圆轨道的速度至少为4m/s，第十次v102=16，则v12=16×24=256，即物体第一次冲上圆轨道的速度为16m/s．
此时由释放点到B点动能定理：mgH₁-μmgcos37°?

H1

sin37°

=

1

2

m

v

2 B

得：H₁=19.2m
则释放的最小高度为19.2m
二物体最高到达CD圆心高度，则由动能定理：mgH₂-μmgcos37°?

H2

sin37°

-mgR=0
得：H₂=0.24m
讨论：下面讨论物体是否存在能够在一次经过D点，经过斜面滑上滑下后到达不了CD圆心高度．
由于通过最高点机械能至少为mg2R+

1

2

m(

gR

)2，经过一次滑上滑下斜面后，物体上圆轨道时机械能变为原来一半，则

1

2

(mg2R+

1

2

m(

gR

)2)＞mgR．故不可能出现经过D点后下一次冲不到圆心高度的情况．
综上所述：H∈（0，0.24m]∪[19.2m，+∞）
答：（1）①第一次经过B点时的速度大小是6m/s．②第一次经过D点时轨道对物块的压力大小为62.5N．
（2）第二次通过最高点D点时轨道对物块的压力大小是28.125N．
（3）物块和各接触面摩擦至少要产生59J热量才能保证物体能够两次到达D点．
（4）释放物块的高度的要求为：H∈（0，0.24m]∪[19.2m，+∞）．

点评：此题要求熟练掌握动能定理、能量守恒定律、圆周运动等规律，包含知识点多，难度较大，关键要反复运用动能定理列式研究．