Question

在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制． 如图1所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时间t作周期性变化的图象如图2所示．x轴正方向为E的正方向，垂直纸面向里为B的正方向．在坐标原点O有一粒子P，其质量和电荷量分别为m和+q．不计重力． 在t=τ/2时刻释放P，它恰能沿一定轨道做往复运动．

（1）求P在磁场中运动时速度的大小v₀；
（2）求B₀应满足的关系；
（3）在t₀（0＜t₀＜τ/2）时刻释放P，求P速度为零时的坐标．

Answer 1

分析：（1）在t=

1

2

τ时刻释放带电粒子P，在

1

2

τ～τ时间内做匀加速直线运动，τ～2τ时间内做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出v₀；
（2）由题，粒子恰能沿一定轨道做往复运动，分析可知，当t=2τ时刻，P在磁场中作圆周运动结束后并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定的轨道作往复运动，画出轨迹，确定出粒子在磁场中圆周运动的周期，粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律和圆周运动的运动学公式求解B₀应满足的关系；
（3）在t₀（0＜t₀＜τ/2）时刻释放P，P在电场中加速时间为τ-t₀，由上题结果得到粒子在磁场中圆周运动的速度和半径，粒子又经过（τ-t₀）时间速度减至零后向右加速时间为t₀，根据几何知识求解P速度为零时的坐标．

解答：解：（1）由图2分析可知，在t=

1

2

τ时刻释放带电粒子P，在

1

2

τ～τ时间内做匀加速直线运动，τ～2τ时间内做匀速圆周运动，
在电场中：粒子所受的电场力F=qE₀，
根据牛顿第二定律得：加速度为a=

F

m

P在磁场中运动时速度的大小v₀=at，t=

1

2

τ
解得，v₀=

qE0τ

2m

（2）只有当t=2τ时刻，P在磁场中作圆周运动结束后并开始沿x轴负方向运动，才能沿一定的轨道作往复运动，如图所示．设粒子在磁场中圆周运动的周期为T，则（n-

1

2

）T=τ，（n=1，2，3…）
粒子做匀速圆周运动时，有qvB₀=m

v2

r

，而T=

2πr

v

解得，B₀=

(2n-1)πm

qτ

，（n=1，2，3…）
（3）在t₀时刻释放P，P在电场中加速时间为τ-t₀，
在磁场中作匀速圆周运动的速度为 v₁=

qE0(τ-t0)

m

，
圆周运动的半径为 r₁=

mv1

qB0

解得，r₁=

E0(τ-t0)

B0

又经（τ-t₀）时间P减速为零后向右加速时间为t₀，
P再次进入磁场速度为 v₂=

qE0t0

m

圆周运动的半径为 r₂=

mv2

qB0

解得，r₂=

E0t0

B0

综上分析，速度为零时横坐标为 x=0
相应的纵坐标为 y=

2[kr1-(k-1)r2] 2k(r1-r2)

，（k=1，2，3，…）
解得，y=

2E0[k(τ-2t0)+t0] B0 2kE0(τ-2t0) B0

，（k=1，2，3，…）
答：
（1）P在磁场中运动时速度的大小v₀为

qE0τ

2m

．
（2）B₀应满足的关系为B₀=

(2n-1)πm

qτ

，（n=1，2，3…）；
（3）在t₀（0＜t₀＜τ/2）时刻释放P，P速度为零时横坐标为x=0，相应的纵坐标为y=

2E0[k(τ-2t0)+t0] B0 2kE0(τ-2t0) B0

，（k=1，2，3，…）．

点评：本题是带电粒子在复合场中运动的问题，分析粒子的受力情况，确定其运动情况，关键是运用几何知识求解坐标．