Question

2．如图，在场强大小为E、水平向右的匀强电场中，一轻杆可绕固定转轴O在竖直平面内自由转动．杆的两端分别固定两电荷量均为q的小球A、B，A带正电，B带负电；A、B两球到转轴O的距离分别为2l、l，所受重力大小均为电场力大小的$\sqrt{3}$倍．开始时杆与电场间夹角为θ（90°≤θ≤180°）．将杆从初始位置由静止释放，以O点为重力势能和电势能零点．求：
（1）初始状态的电势能W_e；
（2）杆在平衡位置时与电场间的夹角α；
（3）杆在电势能为零处的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）根据W=qU 求的初态的电势能
（2）根据力矩关系即可求得与电场间的夹角α
（3）电势能为零时，杆处于竖直位置，当初始时OA与电场间夹角θ=150°时，A恰能到达O正上方，在此位置杆的角速度为0，根据能量守恒即可判断

解答 解：（1）初始状态的电势能为：W_e=qU₊+（-q）U_-=-3qELcosθ
（2）竖直方向的力矩平衡是两重力方向都竖直向下但分居异侧，所以等价力矩要相减；
而水平方向两个电场力方向相反分居异侧要相加；
那么平衡位置时，设小球质量为m，合力矩为：
3qElsinα-mglcosα=0
由此得：$tanα=\frac{mg}{3qE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：α=30°
（3）电势能为零时，杆处于竖直位置，当初始时OA与电场间夹角θ=150°时，A恰能到达O正上方，在此位置杆的角速度为0，
当θ＜150°时，A位移O正下方的电势能为零，初态有：W=-3qElcosθ
E_P=-mglsinθ
末态W′=0     E′_P=-mgl
由能量守恒有：$-3qElcosθ-mglsinθ=\frac{5}{2}m{l}^{2}{ω}^{2}-mgl$
$ω=\sqrt{\frac{2mg（1-sinθ）-6qEcosθ}{5ml}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$
当θ≥150°时，电势能为零的位置由两处，即A位于O点正下方或正上方
在A位移O正下方时$ω=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$
在A位于O正上方时$ω=\sqrt{\frac{-2mg（1-sinθ）-6qEcosθ}{5ml}}=\sqrt{\frac{-2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$
答：（1）初始状态的电势能W_e为-3qELcosθ
（2）杆在平衡位置时与电场间的夹角α为30°；
（3）杆在电势能为零处的角速度ω为$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$或$\sqrt{\frac{-2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$．

点评 本题主要考查了电势能和力矩，关键是抓住在任何位置能量守恒即可判断