Question

北京奥运会期间，新投入使用的航站楼为缓解奥运会旅客运输的交通压力做出了很大贡献，其行李运输系统尤其经受了很大考验．如图所示是行李运输系统的水平传送带，其长度为L=8.0m，皮带轮的半径R=0.20m，传送带上部距地面的高度为h=0.45m．一个旅行包（可视为质点）以v₀=10m/s的初速度从左端滑上传送带．旅行包与传送带间的动摩擦因数μ=0.60．g取10m/s²．求：
（1）若传送带静止，旅行包滑到B端时，若没有人取包，旅行包将从B端滑落．包的落地点距B端的水平距离为多少？
（2）设皮带轮顺时针匀速转动，当皮带轮的角速度ω值在什么范围内，包落地点距B端的水平距离始终为（1）中所得的水平距离？
（3）若皮带轮的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离又是多少？
（4）设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速运动，画出旅行包落地点距B端的水平距离s随角速度ω变化的图象（ω的取值范围从0到100rad/s，不需要写推导过程）

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出旅行包到达B端的速度，或根据牛顿第二定律求出旅行包做匀减速直线运动的加速度大小，根据速度位移公式求出旅行包到达B端的速度v_B．
包离开B点做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，从而求出水平位移．
（2）为使旅行包落地点距B端的水平距离不变，即与（1）中相同．需使旅行包在传送带上一直减速，传送带的传送速度v＜v_B．再由v=Rω，求出角速度ω．
（3）若皮带轮的角速度ω₁=40rad/s，根据v=Rω求出皮带线速度的大小，得知旅行包滑上传送带做匀减速直线运动，当包的速度减到与传送带相等时，由运动学公式求出包通过的位移，分析是否滑出传送带，再由平抛运动的规律求出旅行包落地点距B端的水平距离．
（4）当传送带的速度小于2m/s时，旅行包一直做匀减速直线运动，到达B端的速度为2m/s．
当传送带的速度大于2m/s，小于10m/s，旅行包先做匀减速直线运动，然后做匀速直线运动．
当传送带的速度大于10m/s，小于14m/s，旅行包先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动．
当传送带的速度大于14m/s，则旅行包一直做匀加速直线运动．根据包在传送带上的运动情况，作出图象．

解答：解：（1）若传送带静止，旅行包从A到B过程，由动能定理有：-μmgL=

1

2

mv

2 B

-

1

2

mv

2 0

   ①
 带入数据可解得：v_B=2m/s      ②
旅行包从B点脱离传送带作平抛运动，所以其落地点距B点的水平距离为 S₀=v

2h g

=0.6m  ③
（2）为使旅行包落地点距B端的水平距离不变，即与（1）中相同．需使旅行包在传送带上一直减速，即传送带的传送速度 v＜v_B 即Rω＜v_B   ④
代入数据可得：ω＜10rad/s     ⑤
（3）当皮带轮的角速度为ω₁=40rad/s时，传送带的速度
           v₁=Rω=8m/s       ⑥
设旅行包的速度减小为v₁时，其位移为S，则有
            v

2 0

-v

2 1

=2μgS     ⑦
带入数据可得  S=3m＜L=8.0m   ⑧
所以旅行包离开B端时的速度等于传送带的速度v₁，故落地点距B端的水平距离为
          S₁=v₁

2h g

=2.4m      ⑨
（4）旅行包落地点距B端的水平距离s随角速度ω变化的图象如下．

答：
（1）包的落地点距B端的水平距离为0.6m．
（2）设皮带轮顺时针匀速转动，当皮带轮的角速度ω值在ω＜10rad/s，包落地点距B端的水平距离始终为（1）中所得的水平距离．
（3）若皮带轮的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离又是2.4m．
（4）旅行包落地点距B端的水平距离s随角速度ω变化的图象见上．

点评：解决本题的关键通过传送带的速度，根据旅行包的受力判断出运动规律，根据牛顿第二定律和运动学公式进行求解．