题目内容

如图甲所示，在虚线框两侧区域存在有大小为B、方向分别为水平向左和水平向右的匀强磁场．用薄金属条制成的闭合正方形框aa′b′b边长为L，质量为m，电阻为R．现将金属方框水平地放在磁场中，aa′边、bb′边分别位于左、右两边的磁场中，方向均与磁场方向垂直，乙图是从上向下看的俯视图．金属方框由静止开始下落，其平面在下落过程中保持水平（不计空气阻力）．
（1）请根据乙图指出下落时方框中感应电流的方向；
（2）求方框下落的最大速度v_m（设磁场区域在竖直方向足够长）；
（3）当方框下落的加速度为 $数学公式$ 时，求方框内感应电流的功率P；
（4）从静止开始经过时间t，方框下落高度为h，速度为v_t（v_t＜v_m）．若在这段时间内感应电流做的功与一恒定电流I₀在t时间内在该框内做的功相同，求恒定电流I₀的表达式．

解：（1）金属框竖直向下运动，垂直切割磁感线，根据右手定则判断得知：感应电流的方向沿顺时针方向．
（2）最大速度时，线框做匀速运动，线框受到的安培力与重力平衡，此时线框所受的安培力大小为
F_安=2 BIL= $\text{[math]}$
由平衡条件得 F_安=mg
联立解得 v_m= $\text{[math]}$
（3）当方框下落的加速度为a= $\text{[math]}$ 时，
根据牛顿第二定律得：ma=mg-F_安=mg-2BIL
得I= $\text{[math]}$
则方框内感应电流的功率P=I²R= $\text{[math]}$
（4））从静到方框下落高度为h的过程中，根据能量守恒得
mgh= $\text{[math]}$ mv_t²+I₀²Rt
解得I₀= $\text{[math]}$
答：
（1）下落时方框中感应电流的方向是顺时针方向；
（2）方框下落的最大速度v_m为 $\text{[math]}$ ．
（3）当方框下落的加速度为 $\text{[math]}$ 时，方框内感应电流的功率P为 $\text{[math]}$ ；
（4）恒定电流I₀的表达式为I₀= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）金属框竖直向下运动，垂直切割磁感线，将产生感应电流，根据右手定则判断感应电流的方向；
（2）线框先做加速度减小的变加速运动，后做匀速运动，速度达到最大，由E=B?2Lv，I= $\text{[math]}$ 、F=BIL求得安培力F，根据平衡条件就能求出最大速度；
（3）当方框下落的加速度为 $\text{[math]}$ 时，根据牛顿第二定律和安培力公式结合求得线框中的感应电流大小，由P=I²R求解感应电流的功率；
（4）从静止开始经过时间t，方框下落高度为h的过程中，线框的重力势能减小转化为线框的动能和电能，根据能量守恒列式求解即可．
点评：解答这类问题的关键是通过受力分析，正确分析安培力的变化情况，找出最大速度的运动特征；同时要能结合功能关系列式求解．