Question

如图所示的传送带，其水平部分ab的长度为2m，倾斜部分bc的长度为4m，bc与水平面的夹角为α=37°．将一小物块A（可视为质点）轻轻放于a端的传送带上，物块A与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25．传送带沿图示方向以v=2m/s的速度匀速运动，若物块A始终未脱离皮带．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）小物块从a端被传送到b端所用的时间．
（2）小物块被传送到c端时的速度大小．
（3）若当小物块到达b 端时，传送带的速度突然增大为v^′，问v^′的大小满足什么条件可以使小物块在倾斜传送带bc上运动所用的时间最短？

Answer 1

分析：（1）根据牛顿第二定律求出小物块的加速度，并求出当物块的速度达到2m/s时的位移，判断出物体的运动情况，从而求出小物块从a端被传送到b端所用的时间．
（2）根据摩擦力与下滑力的关系，判断出物体的运动情况，根据牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学公式求出小物块被传送到c端时的速度大小．
（3）当物体一直有向下的摩擦力，则加速度最大，做匀加速直线运动，运动的时间最短．所以物体的速度在整个过程中小于传送带的速度．

解答：解：（1）小物块在水平传送带上运动时受力如图a所示，加速度a1=μg=2.5m/s2
加速过程的位移为x1=

v2

2a1

=0.8m，则A在水平带上先加速后匀速
t=

v

a1

+

lab-x1

v

=1.4s
故小物块从a端被传送到b端所用的时间为1.4s．
（2）小物块在倾斜传送带上运动时受力如图b所示，
因为mgsin37°＞μmgcos37°，则A在bc段做匀加速运动，
加速度a2=g(sin37°-μcos37°)=4m/s2
由运动学公式 vc2-v2=2albc 
解得：v_c=6m/s
故小物块被传送到c端时的速度大小为6m/s．
（3）要使小物块在倾斜传送带上运动时所用时间最短，则加速度要最大，即传送带对小物块的滑动摩擦力沿带向下a3=g(sin37°+μcos37°)=8m/s2，且一直加速．
由v′²-v²=2a₃l_bc
解得v3=2

17

m/s
则v的大小应满足v≥2

17

m/s可以使小物块在倾斜传送带bc上运动的时间最短．

点评：本题是动力学问题，关键根据加速度方向与速度方向的关系，理清物体的运动情况，运用牛顿第二定律和运动学公式求解．