Question

1．如图所示，用轻绳将大小相同、质量不等的N个小球并列悬挂于一水平杆上，球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3 …N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左侧球的质量之比为k（k＜1）．将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞 …所有碰撞均为无机械能损失的正碰．（不计空气阻力）
（i）求n号球与n+1号球碰撞后的速率之比；
（ii）若N=5，k=$\sqrt{2}$-1，在1号球向左拉高h（远小于绳长）的情况下，问5号球碰撞后上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）根据动量守恒定律和能量守恒定律求出n号球与n+1号球碰撞后的速率之比；
（2）根据动能定理，以及碰后n+1号球与碰前号球的速度关系得出通项表达式，结合动能定理求出5号球碰撞后上升的最大高度．

解答 解：（i）规定向右为正方向，根据动量守恒定律得，m_nv_n=m_nv_n′+km_nv_n+1′，
根据能量守恒得，$\frac{1}{2}{m}_{n}{{v}_{n}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{n}{v}_{n}{′}^{2}+\frac{1}{2}k{m}_{n}{v}_{n+1}{′}^{2}$，
联立解得$\frac{{v}_{n}′}{{v}_{n+1}′}=\frac{1-k}{2}$．
$\frac{{v}_{n+1}′}{{v}_{n}}=\frac{2}{k+1}$
（ii）根据动能定理得，${m}_{1}gh=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$，
 根据归纳法知，${v}_{5}′=（\frac{2}{1+k}）^{4}{v}_{1}$，
根据动能定理有：${m}_{5}gh′=\frac{1}{2}{m}_{5}{v}_{5}{′}^{2}$，
解得h′=16h．
答：（i）n号球与n+1号球碰撞后的速率之比为$\frac{1-k}{2}$；（ii）5号球碰撞后上升的最大高度为16h．

点评 本题是利用动量守恒和机械能守恒联合解决一维碰撞问题的典型例子，其中由1号球的速度归纳第n+1号球的速度是关键，而且也是难点．