Question

两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：
（1）a、b两卫星周期之比T_a：T_b是多少？
（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？

Answer 1

分析：根据开普勒行星运动定律之周期定律可求周期之比，将卫星的运动看成匀速圆周运动处理

解答：解：（1）R_a=2R，R_b=4R
由开普勒行星运动规律知：

R 3 a

T 2 a

=

R 3 b

T 2 b

所以T_a：T_b=Ra

3

2

：Rb

3

2

=1：2

2

①
（2）设经过t时间 二者第一次相距最远，
若两卫星同向运转，此时a比b多转半圈，即

t

Ta

-

t

Tb

=

1

2

解得t=

0.5TaTb

Tb-Ta

②
这段时间a经过的周期数为n=

t

Ta

③
由①②③可得n=

4+ 2

7

若两卫星反向运转，（

2π

Ta

+

2π

Tb

）t=π  ④
这段时间a经过的周期数为n′=

t

Ta

⑤
由①④⑤得n′=

4- 2

7

故答案为（1）T_a：T_b=1：2

2

（2）

4+ 2

7

或

4- 2

7

点评：本题既可应用万有引力提供向心力求解，也可应用开普勒行星运动定律求解，以后者较为方便，两卫星何时相距最远的求解，要分同向运转与反向运转两种情形，用到的数学变换相对较多，增加了本题难度．