Question

（2009?安徽模拟）在有“科学奥斯卡”之称的美国《科学》杂志2003年度世界科技大突破评选中，wulixue 中的“证明宇宙是由暗物质和暗能量‘主宰’”的观点名列榜首，成为当今科技突破中的头号热点．世界科技的发展显示，暗物质、暗能量正成为天体物理学研究的重点．宇宙的暗物质是不能直接观测到的东西，存在的依据来自于螺旋转的星系和星团，这些星系和星团以自身为中心高速旋转而没有分散开去，仅靠自身质量产生的引力远不足以把它们集合在一起的，一定存在暗物质，它的吸引力足以把这些旋转的星系牢牢抓住，根据对某一双星系统的光学测量确定该双星系统中每一个星体的质量都是M，两者相距L（L远大于星体的直径），它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．
（1）若没有其他物质存在，试推断该双星系统的运动周期T．
（2）若试验上观测到的运动周期为T’，且T’：T=1：

N

（N＞1），为了解释观测周期T’和（3）中理论上推算的双星运动的周期T不同，目前有一种理论认为，在宇宙中可能存在一种用望远镜也观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．

Answer 1

分析：（1）双星系统围绕两者连线的中点做圆周运动，相互间万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求解运动周期T．
（2）假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，双星系统就由相互间的万有引力的暗物质的引力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出暗物质的质量，再求解其密度．

解答：解：（1）由万有引力提供向心力有：

GMM

L2

=M?

L

2

4π2

T2

  ①
解得T=πL

2L GM

（2）设暗物的密度为ρ，质量为m，则
m=ρ?

4

3

π(

L

2

)3=πρ

L3

6

再由万有引力提供向心力有：

GMM

L2

+

GMM

( L 2 )2

=M?

L

2

?

4π2

T′ 2

②
由

①

②

得

M

M+4m

=

1

N

又m=πρ

L3

6

代入上式解得：
  ρ=

3(N-1)M

2πL3

答：（1）该双星系统的运动周期是πL

2L GM

．
（2）该星系间这种暗物质的密度为

3(N-1)M

2πL3

．

点评：对于双星问题和暗物质问题，关键都要建立模型，确定向心力的来源．若双星圆周运动的圆心不在连线的中点，要采用隔离法研究．