题目内容

如图所示,一根一端封闭的玻璃管,当l=0.96m,内有一段长h1=0.20m的水银柱。当温度为t1=27℃,开口端竖直向上时,封闭空气柱h2=0.60m。问温度至少升到多高时,水银柱才能从管中全部溢出?(外界大气压相当于l0=0.76m高的水银柱产生的压强)
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【错解分析】错解:以封闭气体为研究对象,其初态:p1=(l0+h1),V1=h2S下;末态是水银刚好完全溢出时的状态:p2=l0,V2=lS
根据气态方程:
解得:
带入数据得 
上述解答中有一个错误,就是存在“潜在假设”。即认为:水银柱在外溢过程中,气体体积越大,对应温度越高,当气体充满整个玻璃管(即水银全部溢出)时,所对应的温度是最高的。事实是:
根据气态方程由此可见,PV的乘积越大,对应的温度越高。在水银末溢出前,p不变,V越大,T越大。在水银溢出的过程中,p减小,V增大,p·V的乘积并非一直增大。所以我们在解题的过程中,应找出在什么条件下,pV的乘积最大,由此确定相应的温度。
【正解】由气态方程,可知,PV乘积越大,对应的温度T越高,假设管中还有长为X的水银柱尚未溢出时,pV值最大,即(l0+x)(l-x)S的值最大,这是一个数学求极值问题。因为(l0+x)+(l-x)=(l0+l)与x的大小无关,所以由数学知识可知:两数之和为一常数,则当这两数相等时,其乘积最大。
所以:l0+x=l-x
解得:
即管内水银柱由0.20m溢出到还剩下0.10m的过程中,p·V的乘积越来越大,这一过程必须是升温的。此后,温度不必再升高(但要继续给气体加热),水银柱也将继续外溢,直至完全溢出。由气态方程:

有:
代入数据得:T2=385.2K。
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