题目内容
如图所示，一个很长的竖直放置的圆柱形磁铁，在其外部产生一个中心辐射的磁场（磁场水平向外），其大小为B=| k | r |
（1）铝环下落的速度为v时的电功率是多大？
（2）铝环下落的最终速度vm是多大？
（3）如果从开始到下落高度为h时，速度最大，经历的时间为t，这一过程中铝环中电流的有效值I0是多大？
分析：（1）根据电阻定律求出圆环的电阻，根据法拉第电磁感应定律求出切割磁感线产生的电动势，根据电功率的表达式求解．
（2）当圆环加速度为零时，有最大速度，由平衡条件求解．
（3）由能量守恒定律，结合由有效值来确定热量，从而即可求解．
（2）当圆环加速度为零时，有最大速度，由平衡条件求解．
（3）由能量守恒定律，结合由有效值来确定热量，从而即可求解．
解答：解：（1）由题意知圆环所在处的磁感应强度B=
，圆环的有效切割长度为其周长，即L=2πR，
圆环的电阻R0=ρ
=ρ
，当圆环的速度为v时，切割磁感线产生的电动势E=BLv=2kπv，
圆环中的电流I=
，圆环速度为v时电功率P=I2R0
联立以上各式解得：P=
（2）当圆环加速度为零时，有最大速度vm，此时安培力F=BIL=
由平衡条件可知：mg=F，圆环的质量m=ρ0S?2πR
解得：vm=
（3）由能量守恒定律得：
mgh=
m
+
Rt
则：
Rt=2πρ0RS[gh-
（
）2]
解得：I0=
答：（1）铝环下落速度为v时的电功率是
，
（2）铝环下落的最终速度是
，
（3）当下落h高度时，速度最大，此过程铝环中电流的有效值I0是：I0=
| K |
| R |
圆环的电阻R0=ρ
| L |
| S |
| 2πR |
| S |
圆环中的电流I=
| KvS |
| ρR |
联立以上各式解得：P=
| 2πSK2 v2 |
| ρR |
（2）当圆环加速度为零时，有最大速度vm，此时安培力F=BIL=
| 2πSK2vm |
| ρR |
由平衡条件可知：mg=F，圆环的质量m=ρ0S?2πR
解得：vm=
| ρρ0gR2 |
| K2 |
（3）由能量守恒定律得：
mgh=
| 1 |
| 2 |
| v | 2 m |
| I | 2 0 |
则：
| I | 2 0 |
| 1 |
| 2 |
| ρρ0gR2 |
| K2 |
解得：I0=
|
答：（1）铝环下落速度为v时的电功率是
| 2πSK2 v2 |
| ρR |
（2）铝环下落的最终速度是
| ρρ0gR2 |
| K2 |
（3）当下落h高度时，速度最大，此过程铝环中电流的有效值I0是：I0=
|
点评：解决该题关键是把电磁感应与电路知识，能量守恒定律结合起来求解．
练习册系列答案
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(其中r为辐射半径――考察点到圆柱形磁铁中心轴线的距离，k为常数)，设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R(大于圆柱形磁铁的半径)，制成铝环的铝丝其横截面积为S，铝环由静止下落通过磁场，下落过程中铝环平面始终水平，已知铝丝电阻率为
，密度为
，当地重力加速度为g，试求：
（1）铝环下落的速度为v时铝环的感应电动势是多大？
是多大？
（其中r为辐射半径），设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R （大于圆柱形磁铁的半径），而弯成铝环的铝丝其横截面积为S，铝环由静止开始下落，下落过程中铝环平面始终水平，已知铝丝电阻率为ρ，密度为ρ0，试求：
（其中
为辐射半径——考察点到圆柱形磁铁中心轴线的距离，
为常数），设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁的半径），制成铝环的铝丝其横截面积为S，铝环由静止下落通过磁场，下落过程中铝环平面始终水平，已知铝丝电阻率为
，密度为
，当地重力加速度为g，试求：
是多大？
（其中
为辐射半径——考察点到圆柱形磁铁中心轴线的距离，
为常数），设一个与磁铁同轴的圆形铝环，半径为R（大于圆柱形磁铁的半径），制成铝环的铝丝其横截面积为S，铝环由静止下落通过磁场，下落过程中铝环平面始终水平，已知铝丝电阻率为
，密度为
，当地重力加速度为g，试求：
是多大？