Question

（2012?资阳三模）如图所示，两根正对的距离为L=1m的平行金属直物直MN、M’、N'位于同一水平面上，两端M、M’之间接一阻值为R=4Ω的定值电阻，NN’端与两条位于竖直平面内的半径均为R_o=0.4m的半圆形光滑金属习口直NP，N'P’平滑连接直轨道的右侧处于竖直向下、磁感应强度为B=1T的匀强磁场中，磁场区域的宽度为s=0.5m，且其右边界与NN’重合．现有一质量为m=lkg，电阻为r=1Ω的一导体杆ab静止在距磁场的左边界也为s处．在与杆垂直的，水平向右且大小为38N的恒力F作用下ab杆开始运动．当运动至磁场右边界时撤去F，结果导休杆ab恰好能以最小的速度通过半圆形习U首的最高点PP'．已知导体杆ab在运动过程中与辆连接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数为μ=02，轨道的电阻可忽略不计，重力加速度g取l Om/s²，求：
（1）ab刚进入磁场时杆中电流的大小和方向；
（2）ab穿过磁场的过程中，通过ab杆的电量；
（3）ab穿过磁场的过程中，ab杆损失的机械能和电阻R上产生的焦耳热．

Answer 1

分析：（1）导体杆ab在F作用下做匀加速运动，由动能定理求出ab运动至磁场左边界时的速度，由公式E=BLv、I=

E

R+r

求出ab刚进入磁场时杆中电流的大小，由右手定则判断感应电流的方向．
（2）由 q=

.

I

?t、

.

E

=

B?Ls

t

、

.

I

=

. E

R+r

联立得到通过ab杆的电量．
（3）导体杆ab恰好能通过半圆形轨道的最高点，由牛顿第二定律求出通过最高点时的速度．导体杆从NN′运动至PP′的过程，根据机械能守恒定律，求出ab通过NN′时的速度．ab穿过磁场的过程中，ab杆损失的机械能等于其动能的减少．根据能量守恒求出焦耳热．

解答：解：（1）设导体杆ab在F作用下运动至磁场左边界时的速度为v₁，根据动能定理有：(F-μmg)s=

1

2

m

v

2 1

…①
导体杆ab刚进入磁场时产生的感应电动势：E₁=BLv₁…②
由闭合电路欧姆定律有：I1=

E1

R+r

…③
联解①②③得：I=1.2A…④
根据右手定则可知，电流方向由b→a．…⑤
（2）设导体杆ab穿过磁场的所用时间为t，根据电流强度定义、法拉弟电磁感应定律及闭合电路欧姆定律有：
  q=

.

I

?t…⑥
 

.

E

=

B?Ls

t

…⑦
 

.

I

=

. E

R+r

…⑧
联解⑥⑦⑧得：q=0.1C…⑨
（3）设导体杆ab离开磁场时的速度大小为v₂，运动到圆轨道最高点时的速度大小为v₃．导体杆ab恰好能通过半圆形轨道的最高点，对导体杆ab在最高点时根据牛顿定律有：mg=m

v 2 3

R0

…⑩
导体杆从NN′运动至PP′的过程，根据机械能守恒定律有：

1

2

m

v

2 2

=

1

2

m

v

2 3

+mg?2R0…（11）
导体杆穿过磁场的过程中，由能量守恒定律有：Fs-μmgs=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

+Q…（12）
导体杆损失的机械能：△E=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

…（13）
电阻R上产生的焦耳热为：QR=

R

R+r

Q…（14）
联解⑩（11）（12）（13）（14）得：
△E=8 J…（15）
Q_R=20.8 J…（16）
答：
（1）ab刚进入磁场时杆中电流的大小是1.2A，方向由b→a．
（2）a6穿过磁场的过程中，通过ab杆的电量是0.1C；
（3）ab穿过磁场的过程中，ab杆损失的机械能和电阻R上产生的焦耳热是20.8J．

点评：本题首先要分析导体棒的运动过程，分三个子过程进行研究；其次要掌握三个过程遵守的规律，运用动能定理、能量守恒、牛顿第二定律、机械能守恒等联合求解．