Question

如图所示，平行板电容器的极板长度L₁=1.6m、间距d=1m，加上U=300V的恒定电压．距离极板右边缘L₂处有一光屏P，在这个区域内又有一垂直纸面向里的、磁感应强度为B=50T的匀强磁场（上下无限）．现有一质量m=1×10^-8kg，电量q=+1×10^-9C的微粒（不计重力），以v₀=8m/s的初速度从上金属板附近水平射入，通过电容器后，再进入匀强磁场B．取sin37°=0.6，cos37°=0.8．试求：
（1）微粒离开电容器时的速度v的大小及方向；
（2）要微粒能打中光屏，则L₂的最大值L_2m．

Answer 1

分析：（1）、微粒子在电容器内部运动时是类平抛运动，在水平方向是匀速直线运动，由已知条件可求出经历的时间，再由牛顿运动定律和运动学公式求出竖直方向上的速度，由运动的合成求出微粒离开电容器时的速度v的大小及方向．
（2）、做出微粒子运动的轨迹与光屏相切的简图，这是一个临界状态，确定此时的圆心和运动半径，运用在洛伦兹力作用下做圆周运动的向心力公式和几何关系，可求出L₂的最大距离．

解答：解：
（1）电荷射入电容器后做类平抛运动，根据平抛运动的规律．
在水平方向上，电子通过电容器的时间为t=

L1

v0

=

1.6

8

=0.2s
在竖直方向上，电容器两板间向下的电场强度为E=

U

d

电场力F=qE 
点电荷向下的加速度为a=

F

m

经以上各式解得a=

qU

md

=30m/s² 
点电荷离开金属板时的竖直速度v_y=at=6m/s
点电荷离开电容器时的速度大小vy=

v 2 0 + v 2 y

=10m/s
设与水平方向所夹的角θ，则tanθ=

vy

v0

=

3

4

所以，θ=37°
（2）点电荷进入磁场后做匀速圆周运动，若最后能打中光屏，则临界条件是轨迹与光屏P相切于C点，如图所示．
根据qvB=m

v2

R

得半径R=

mv

qB

=2m
由几何关系得L₂的最大长度为
L_2m=Rsinθ+R=3.2m
答：（1）微粒离开电容器时的速度v的大小为10m/s，方向与水平方向成37°角．
（2）要微粒能打中光屏，则L₂的最大值L_2m为3.2m

点评：粒子做类平抛运动，常用分解的方法来解决，沿垂直于电场线方向（水平方向）和沿电场线方向（竖直方向）分解，有：

水平方向：匀速直线运动vx=v0，x=v0t 竖直方向：匀加速直线运动：vy=at，y= 1 2 at2

飞行时间：t= l v0 侧移距离：y= 1 2 ( qU md )( l v0 )2  = qUl2 2m v 2 0 d 偏转角度：tanθ= vy vx = at v0 = qUl m v 2 0 d

解答本题的另一关键问题是确定带电粒子在有边界的匀强磁场中做匀速圆周运动的圆心和半径．
①、圆心的确定：因为洛伦兹力提供向心力，所以洛伦兹力总是垂直于速度的方向，画出带电粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入磁场和射出磁场的两点）洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心．
②、半径的确定：半径一般都是在确定圆心的基础上用平面几何的知识求解，常常用到解三角形，尤其是直角三角形．