Question

我国成功地发射了“嫦娥一号”探月卫星．卫星进入地球轨道后还需要对卫星进行10次点火控制．前4次点火，让卫星不断变轨加速，当卫星加速到v_o=11.0km/s的速度时进入地月转移轨道向月球飞去．后6次点火的主要作用是修正飞行方向和被月球捕获时的紧急刹车，最终把卫星送入离月面h=200km高的工作轨道（可视为匀速圆周运动）．已知地球质量是月球质量的81倍，月球和地球的半径分别为：R_月=1800km，R_地=6400km，卫星质量为2350kg，地球表面重力加速度g=10m/s²，引力恒量G=6.67×10^-11N?m²/kg²．求：（结果保留一位有效数字）
（1）地球的质量．
（2）卫星从离开地球轨道进入地月转移轨道最终稳定在离月球表面h=200km的工作轨道上外力对它做了多少功？（忽略地球自转及月球绕地球公转的影响）

Answer 1

分析：1、忽略地球自转，地球表面的物体受到的重力等于万有引力mg=G

Mm

R地2

，代入数据可以计算地球的质量．
2、卫星绕月球运动，万有引力提供向心力G

M月m

(R月+h)2

=m

v2

R月+h

，得v=

GM月 R月+h

，代入数据计算卫星的速度．根据动能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02，代入数据计算即可．

解答：解：（1）忽略地球自转，地球表面的物体受到的重力等于万有引力mg=G

Mm

R地2

，得M=

gR地2

G

=

10×(6400×103)2

6.67×10-11

kg=6.14×10²⁴kg
（2）卫星离月球表面h=200km的工作轨道上，万有引力提供向心力G

M月m

(R月+h)2

=m

v2

R月+h

，
得v=

GM月 R月+h

=

6.67×10-11× 1 81 ×6.14×1024 (1800+200)×103

=1590m/s
根据动能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02=

1

2

×2350×(15902-110002)J=-1.39×10¹¹J
答：（1）地球的质量为6.14×10²⁴kg．
（2）卫星从离开地球轨道进入地月转移轨道最终稳定在离月球表面h=200km的工作轨道上外力对它做了-1.39×10¹¹J功．

点评：本题主要考查动能定理和天体运动结合的问题，要主要根据万有引力提供向心力计算出卫星绕月的速度，在运用动能定理计算，难度不大，计算要小心．