Question

带电粒子在AB两极板间靠近A板中央附近S处静止释放，在两极板电压中加速，从小孔P平行CD极板方向的速度从CD极板中央垂直进入偏转电场，B板靠近CD板的上边缘如图甲．在CD两板间加如图乙所示的交变电压，设t₁=0时刻粒子刚好进入CD极板，t₂=t₀时刻粒子恰好从D板的下边缘飞入匀强磁场，匀强磁场的上边界与CD极板的下边缘在同一水平线上，磁场范围足够大，加速电场AB间的距离，偏转电场CD间的距离及CD极板长均为d，图象乙中t₀和U₀都为已知，带电粒子重力不计，不考虑电场和磁场边界影响．求：

（1）加速电压U=？U₀=？
（2）带电粒子进入磁场时的速度？
（3）若带电粒子在t₃时刻刚好从C极板的下边缘进入偏转电场，并刚能返回到初始位置S处，t₃=？，t₀=？
（4）带电粒子全程运动的周期T=？

Answer 1

分析：（1）粒子加速后进入偏转电场，恰好从偏转电场下极板边缘射出，由几何关系得到速度与加速阶段的速度关系，在加速电场和偏转电场中分别应用动能定理可得加速电场的电压值
（2）由于粒子在偏转电场中做类平抛运动，平行于极板方向为匀速直线运动，由运动的合成与分解的知识可得粒子进入磁场时的速度
（3）带电粒子在匀强电场中做匀速圆周运动，射入磁场时的速度大小和方向由（2）可知，故可得在磁场中的运动时间，由运动的对称性可得返回到初始位置的时间
（4）根据运动的对称性，结合（3）的答案可求运动全程的时间

解答：解：（1）设带电粒子进入偏转电场时的速度为v₀，从偏转电场中射出的速度为v，t₁=0时刻粒子刚好进入CD极板，t₂=t₀时刻粒子恰好从D板的下边缘飞入匀强磁场，
即由几何关系可知：
v=

2

v0①
在加速电场中，有动能定理得：
qU=

1

2

mv

2 0

②
在偏转电场中，有

1

2

qU₀=

1

2

mv2-

1

2

mv

2 0

③
所以，U=

1

2

U₀                                                                   
（2）由于粒子在偏转电场中做类平抛运动，带电粒子进入磁场时的速度大小为：
v=

2

v0=

2 d

t0

④
速度方向和磁场边界成45°角．

（3）带电粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，故：
qvB=

mv2

R

⑤
而，T=

2πR

v

⑥
且在磁场中运动时间为：t=

3T

4

⑦
由几何关系得：R=

2

2

d⑧
由题意得：t=t₃-t₀⑨
由④⑤⑥⑦⑧⑨得，t₃=（1+

3π

4

）t₀
（4）带电粒子全程运动的周期为：T_总=2（

2d

v0

）+2×

d

v0

+

3T

4

=6t0+

3π

4

t₀
答：（1）加速电压U=

1

2

U₀
（2）带电粒子进入磁场时的速度

2 d

t0

，速度方向和磁场边界成45°角
（3）若带电粒子在t₃时刻刚好从C极板的下边缘进入偏转电场，并刚能返回到初始位置S处，t₃=（1+

3π

4

）t₀
（4）运动全程的时间6t₀+

3π

4

t₀

点评：关键是挖掘“恰好从D板的下边缘飞入匀强磁场”的隐含条件，建立清晰的运动情境，此外对运算能力要求较高