Question

5．如图所示，两个$\frac{3}{4}$圆弧轨道固定在水平地面上，半径R相同，A轨道由金属凹槽制成，B轨道由金属圆管制成，均可视为光滑轨道．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别用h_A和h_B表示，则下列说法正确的（　　）

• A． 若h_A=h_B≥2R，则两小球都能沿轨道运动到最高点
• B． 若h_A=h_B=$\frac{3R}{2}$，由于机械能守恒，两个小球沿轨道上升的最大高度均为$\frac{3R}{2}$
• C． 适当调整h_A和h_B，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
• D． 若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，A小球的最小高度为$\frac{5R}{2}$，B小球在h_B＞2R的任何高度均可

Answer 1

分析 小球A恰好能到A轨道的最高点时，轨道对小球无作用力，由重力提供小球的向心力，由牛顿第二定律求出速度．小球恰好能到B轨道的最高点时，速度为零，根据机械能守恒分别求出h_A和h_B．再判断h_A=h_B=2R，两小球是否能沿轨道运动到最高点．根据最高点的临界速度求出小球最高点飞出的水平位移的最小值．

解答 解：AD、A球最高点最小速度为 v=$\sqrt{gR}$，则由机械能守恒定律可知，mg（h_A-2R）=$\frac{1}{2}$mv_A²，A球下落的最小高度为$\frac{5}{2}$R；而B中小球只要在最高点的速度大于2R即可；故A错误，D正确；
B、若h_A=h_B=$\frac{3R}{2}$，由上分析知，A球在到达最高点前离开轨道，离开轨道时有速度，由机械能守恒可知：mg$\frac{3R}{2}$=mgh+$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，v′＞0，则h＜$\frac{3}{2}$R．
对于B球，由机械能守恒可知：mg$\frac{3R}{2}$=mgh，得h=$\frac{3}{2}$R．故B错误．
C、小球A能从A飞出的最小速度为v=$\sqrt{gR}$，从最高点飞出后下落R高度时，水平位移的最小值为：x_A=vt=$\sqrt{gR}$•$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{2}$R＞R，则小球A落在轨道右端口外侧．而适当调整h_B，B可以落在轨道右端口处．故C错误；
故选：D

点评 本题是向心力、机械能守恒定律、平抛运动的综合，A轨道与轻绳系的球模型相似，B轨道与轻杆固定的球模型相似，要注意临界条件的不同．