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精英家教网质量为m的小球(可看作质点)在竖直放置的光滑圆环轨道内运动,如图所示,小球在最高点A时的速度为
2gR
,其中R为圆环的半径.求:
(1)小球经过最低点C时的速度;
(2)小球在最低点C对圆环的压力;
(3)小球到达位置B时的角速度.
分析:(1)小球从最高点运动到最低点的过程中机械能守恒,设小球到达最低点时的速度大小为vC,根据机械能守恒定律列式即可求解;
(2)小球在最低点C时,受到的合外力提供小球做圆周运动的向心力,设轨道对小球的支持力为N,根据牛顿第二定律和圆周运动公式即可求解;
(3)根据机械能守恒定律求出B点速度,由圆周运动角速度ω与线速度v的关系,得小球在B点的角速度.
解答:解:(1)小球从最高点运动到最低点的过程中机械能守恒,设小球到达最低点时的速度大小为vC,根据机械能守恒定律
mg2R+
1
2
mvA2=
1
2
mvC2                            
解得vC=
6gR
                        
(2)小球在最低点C时,受到的合外力提供小球做圆周运动的向心力,设轨道对小球的支持力为N,根据牛顿第二定律和圆周运动公式
N-mg=m
vC2
R
                       
解得:N=7mg                              
根据牛顿第三定律,小球对轨道的压力
N′=N=7mg                         
(3)设小球运动到B点时的速度大小为vB,根据机械能守恒定律
mgR(1-sin30°)+
1
2
mvA2=
1
2
mvB2         
解得:vB=
3gR
             
由圆周运动角速度ω与线速度v的关系,得小球在B点的角速度
ωB=
vB
R
=
3g
R
           
答:(1)小球经过最低点C时的速度为
6gR

(2)小球在最低点C对圆环的压力为7mg;
(3)小球到达位置B时的角速度为
3g
R
点评:本题主要考查了机械能守恒定律及圆周运动向心力公式、角速度与线速度的关系,难度适中.
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