题目内容
【题目】图a是基于全内反射原理制备的折射率阶跃型光纤及其耦合光路示意图.光纤内芯直径50μm，折射率n1=1.46；它的玻璃外包层的外径为125μm，折射率n2=1.45.氦氖激光器输出一圆柱形平行光束，为了将该激光束有效地耦合进入光纤传输，可以在光纤前端放置一微球透镜进行聚焦和耦合，微球透镜的直径D=3.00mm，折射率n=1.50.已知激光束中心轴通过微球透镜中心，且与光纤对称轴重合.空气折射率n0=1.00.
(1)为了使光线能在光纤内长距离传输，在光纤端面处光线的最大入射角应为多大?
(2)若光束在透镜聚焦过程中满足近轴条件，为了使平行激光束刚好聚焦于光纤端面(与光纤对称轴垂直)处，微球透镜后表面中心顶点O与光纤端面距离应为多大?
(3)为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径最大不能超过多少?
【答案】（1）9.8° （2）0.75mm （3）0.76mm
【解析】
(1)进入光纤芯的光束只有在光纤芯与包层界面满足全反射条件，才能使得光束在光纤中长距离传输.设光线最大入射角为θ，相应的折射角为α，如解题图a所示.由折射定律和全反射条件有
(1)
(2)
由(1)(2)式得
(3)
由(3)式得
θ=arcsin0.17=9.8° (4)
(2)平行激光束首先在微球透镜前表面一次成像，其成像位置
(相对于微球透镜前表面顶点)可利用球面镜折射成像公式得到
(5)
式中，O1为物距，由于是平行光束O1=∞，是一次成像位置，n是微球透镜玻璃材料折射率n=1.50，r是微球前表面曲率半径，
.由(5)式得
(6)
光束在微球透镜后表面第二次成像位置
(相对于微球透镜后表面顶点O)可由球面镜折射成像公式得到
(7)
式中，
为相对于微球透镜后表面顶点O的物距
(8)
由于此时是虚物，应取负值，即
而
是微球后表面曲率半径
将以上数据代入(7)式可得二次成像位置为
(9)
即微球透镜后表面中心顶点O与光纤端面距离应为0.75mm.
(3)微球透镜的等效主点与球心重合，而等效焦距为
(10)
为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径d最大时，光束在光纤端面上的入射角应满足最大入射角条件:
(11)
注意到
上式已略去
项，将上式结果代入(11)式，结合(3)式和题给数据得
(12)
平行入射激光束的直径最大不能超过0.76mm.
