Question

如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l₀到y轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x轴上方的电场方向沿y轴负方向，x轴下方的电场方向沿y轴正方向．在电场左边界上A（-2l₀，-l₀）到C（-2l₀，0）区域内的某些位置，分布着电荷量+q．质量为m的粒子．从某时刻起A点到C点间的粒子，依次以相同的速度v₀沿x轴正方向射入电场．若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l₀）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示．不计粒子的重力及它们间的相互作用．
（1）求匀强电场的电场强度E：
（2）若带电粒子通过电场后都能沿x轴正方向运动，请推测带电粒子在AC间的初始位置到C点的距离．
（3）若以直线x=2l₀上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，求磁场区域的最小半径及相应的磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析：（1）将带电粒子的运用沿水平和竖直方向正交分解，水平方向做匀速直线运动，竖直方向在x轴上下方都做匀变速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式列式分析；
（2）先画出运动的一般轨迹，要使粒子通过电场后能沿x轴正方向运动，其第一次到达x轴的水平分位移的2n倍等于2l₀，根据牛顿第二定律和运动学公式列式分析即可；
（3）先画出各个粒子的运动轨迹，然后根据题意确定磁场范围，最后根据洛伦兹力提供向心力求解磁感应强度．

解答：解：（1）设从A点射入的粒子由A点到A'点的运动时间为t，根据运动轨迹的对成称性可得：
x方向有：2l₀=v₀t得t=

2l0

v0

①
y方向有：l₀=

qE

2m

（

t

2

）² ②
解得 E=

2m v 2 0

ql0

③
（2）设到C点距离为△y处射出的粒子通过电场后也沿x轴正方向，粒子第一次到达x轴用时△t，水平分位移△x，
则△x=v₀△t ④
△y=

qE

2m

（△t）² ⑤
要粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须满足条件2l₀=n?2△x（n=1，2，3…） ⑥
联立③④⑤⑥解得：△y=

1

n2

l₀⑦
故粒子从电场中射出时速度方向也沿x轴正方向，必须是在AC间纵坐标为：y=（-1）ⁿ

1

n2

l₀，（n=1，2，3…）⑧
（3）当n=1时，粒子射出的坐标为y₁=l₀⑨
当n=2时，粒子射出的坐标为y₂=-

1

4

l₀ ⑩
当n≥3时，沿x轴正方向射出的粒子分布在y₁到y₂之间（如图所示）．
y₁、y₂之间距离为 L=y₁-y₂=

5l0

4

   （11）
所以，磁场圆O₁的最小半径R=

L

2

=

5l0

8

（12）
若使粒子经磁场后汇集于直线x=2l₀与圆形磁场边界的一个交点，分析知此点只能是答图中的Q点，且粒子在磁场中做圆周运动的半径等于磁场区域圆半径．
由 qv₀B=m

v 2 0

R

（13）
联立（12）（13）得：B=

8mv0

5ql0

（14）
答：（1）匀强电场的电场强度E的大小为

2m v 2 0

ql0

；
（2）带电粒子在AC间的初始位置到C点的距离为（-1）ⁿ

1

n2

l₀，（n=1，2，3…）；
（3）磁场区域的最小半径为

5l0

8

，相应的磁感应强度B的大小为

8mv0

5ql0

．

点评：本题关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；解题过程中要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要画出准确的圆轨迹图分析才能有助与问题的解决．