Question

6．如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小．传送带的运行速度为v₀=6m/s，将质量m=1.0kg的可看作质点的滑块无初速地放到传送带A端，传送带长度为L=12.0m，“9”字全高H=0.8m，“9”字上半部分圆弧半径为R=0.2m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.3，重力加速g=10m/s²，试求：
（1）滑块从传送带A 端运动到B 端所需要的时间；
（2）滑块滑到轨道最高点C时对轨道作用力的大小和方向；
（3）若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ=45°的斜面上P点，求P、D 两点间的竖直高度 h（保留两位有效数字）．

Answer 1

分析 （1）滑块在传送带上先加速后匀速，根据牛顿第二定律求加速度，然后根据运动学公式求加速时间和位移，再求匀速时间，得到总时间；
（2）先对从B到C过程根据机械能守恒定律求出C点速度，再根据重力和轨道作用力的合力提供向心力，列方程求出轨道的作用力，再得到滑块对轨道的作用力；
（3）滑块从B到D的过程中由动能定理列式求滑块经过D点的速度．根据滑块垂直撞在倾角θ=45°的斜面上P点，由速度的分解求出竖直分竖直速度，再求h．

解答 解：（1）在传送带上加速运动时，由牛顿第二定律得：μmg=ma，
得：a=μg=0.3×10m/s²=3m/s²
加速到与传送带达到共速所需要的时间为：t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{6}{3}$=2s                
前2s内的位移为：x₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×3×{2}^{2}$m=6m                                 
之后滑块做匀速运动的位移为：x₂=L-x₁=6m
所用的时间为：t₂=$\frac{{x}_{2}}{{v}_{0}}$=$\frac{6}{6}$s=1s                                     
故滑块从传送带A 端运动到B 端所需要的时间：t=t₁+t₂=3s                                          
（2）滑块由B到C的过程中动能定理得：
-mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$       
在C点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力为其做圆周运动提供向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得：
F_N+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$ 
联立并代入数据解得：F_N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-mg（$\frac{2H}{R}$+1）=90N，方向竖直向下
由牛顿第三定律得，滑块对轨道的压力大小 90N，方向竖直向上．
（3）滑块从B到D的过程中由动能定理得：
-mg（H-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$   
在P点竖直分速度为：v_y=$\frac{{v}_{D}}{tan45°}$，又h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$，
代入数据解得：h=1.4m
答：（1）滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间为3s；
（2）滑块滑到轨道最高点C时对轨道作用力的大小为90N和方向竖直向上．
（3）P、D 两点间的竖直高度 h是1.4m．

点评 本题中物体在传送带上先加速后匀速运动，根据牛顿第二定律和运动学公式联立确定运动情况，滑块在细管中运动时机械能守恒，可以求出各个时刻的速度，最后结合平抛运动的规律解答．