题目内容
如图所示为一种获得高能粒子的装置.环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调节的匀强磁场.质量为m、电量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动.A、B为两块中心开有小孔的极板.原来电势都为零,每当粒子飞经A板时,A板电势升高为+U,B板电势仍保持为零,粒子在两板间电场中得到加速.每当粒子离开B板时,A板电势又降为零.粒子在电场一次次加速下动能不断增大,而绕行半径不变.
(1)设t=0时,粒子静止在A板小孔处,在电场作用下加速.求粒子第一次穿过B板时速度的大小v1;
(2)为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动,磁场必须周期性递增.求粒子绕行第n圈时磁感应强度的大小Bn;
(3)求粒子绕行n圈所需的总时间tn总(设极板间距离远小于R,粒子在A、B极板间运动的时间可忽略不计).
(1)设t=0时,粒子静止在A板小孔处,在电场作用下加速.求粒子第一次穿过B板时速度的大小v1;
(2)为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动,磁场必须周期性递增.求粒子绕行第n圈时磁感应强度的大小Bn;
(3)求粒子绕行n圈所需的总时间tn总(设极板间距离远小于R,粒子在A、B极板间运动的时间可忽略不计).
分析:(1)由题意可知,每加速一次,粒子的能量增加qU,根据动能定理求解粒子第一次穿过B板时速度的大小v1;
(2)粒子的动能逐渐增加,速度就逐渐增加,由能量可表示出速度,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律即可求出第n圈时的磁感应强度Bn;.
(3)每圈的半径没有发生变化,由周长和每圈的速度即可求出每圈的时间,然后相累加,即可求得总时间tn总.
(2)粒子的动能逐渐增加,速度就逐渐增加,由能量可表示出速度,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律即可求出第n圈时的磁感应强度Bn;.
(3)每圈的半径没有发生变化,由周长和每圈的速度即可求出每圈的时间,然后相累加,即可求得总时间tn总.
解答:解:(1)粒子第一次加速过程,根据动能定理得
qU=
m
解得,v1=
(2)粒子绕行第n圈时,nqU=
m
粒子受到的洛伦兹力提供向心力,qvnBn=m
解得:Bn=
(3)粒子运动的周期表达式为:Tn=
=
粒子绕行第1圈,所用时间为t1=
,B1=
粒子绕行第2圈,所用时间为t2=
,B2=
粒子绕行第3圈,所用时间为t3=
,B3=
…
以此类推,粒子绕行第n圈,所用时间为 tn=
,Bn=
解得:tn总=t1+t2+t3+…+tn=2πR
(1+
+
…+
)
答:(1)粒子第一次穿过B板时速度的大小v1是
.
(2)粒子绕行第n圈时磁感应强度的大小Bn是
.
(3)粒子绕行n圈所需的总时间tn总是2πR
(1+
+
…+
).
qU=
1 |
2 |
v | 2 1 |
解得,v1=
|
(2)粒子绕行第n圈时,nqU=
1 |
2 |
v | 2 n |
粒子受到的洛伦兹力提供向心力,qvnBn=m
| ||
R |
解得:Bn=
1 |
R |
|
(3)粒子运动的周期表达式为:Tn=
2πR |
vn |
2πm |
qBn |
粒子绕行第1圈,所用时间为t1=
2πm |
qB1 |
1 |
R |
|
粒子绕行第2圈,所用时间为t2=
2πm |
qB2 |
1 |
R |
|
粒子绕行第3圈,所用时间为t3=
2πm |
qB3 |
1 |
R |
|
…
以此类推,粒子绕行第n圈,所用时间为 tn=
2πm |
qBn |
1 |
R |
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解得:tn总=t1+t2+t3+…+tn=2πR
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1 | ||
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1 | ||
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1 | ||
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答:(1)粒子第一次穿过B板时速度的大小v1是
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(2)粒子绕行第n圈时磁感应强度的大小Bn是
1 |
R |
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(3)粒子绕行n圈所需的总时间tn总是2πR
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1 | ||
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1 | ||
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1 | ||
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点评:粒子加速器是利用磁场的偏转,使电场能重复对粒子加速,粒子在加速器内旋转时半径是不变化的,所以粒子加速器所加的磁场时要发生变化.速度越来越大,周期越来越小.解决此类问题,常用到能量的转化与守恒、粒子在匀强磁场中的运动半径和周期公式.
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