题目内容
如图所示，虚线为有界磁场的竖直界面所在处，其区域宽度为d，磁场磁感应强度为B方向垂直纸面向里．有一带电粒子从磁场中央O点出发，粒子速度大小为v，方同垂直磁场且与水平方向成30°角粒子质量为m电荷量为q，不计粒子重力若要求粒子能从左边边界射出磁场，则对粒子速度v的要求如何？分析：带电粒子在匀强磁场中由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得到半径表达式．当粒子做圆周运动恰好与左边边界相切时，轨迹的半径最小，对应的速度最小；当粒子做圆周运动恰好与右边边界相切时，轨迹的半径最大，对应的速度最大，由几何知识分别求出半径的最小值和最大值，即可求出速度的范围．
解答：解：带电粒子在匀强磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，则有 qvB=m
，得粒子的轨迹为 R=
（1）若粒子做圆周运动恰好经过左边边界并且瞬时速度与边界线相切，则其对应轨迹如右图所示，设粒子对应速度大小为v1，轨道半径为R1，根据粒子对应速度大小为v1，轨道半径为R1，根据粒子经过O、A两点的速度方向确定圆弧轨迹圆心O1，由数学关系有
R1+R1cos60°=
得 R1=
由R1=
得，v1=
要使粒子从左边界射出磁场，其运动轨迹的半径应大于R1，因此粒子运动速度 v＞
．
（2）若粒子做圆周运动经过右边边界并且速度方向恰好与边界相切，则其运动轨迹如右图所示，设其对应的速度大小为v2，轨道半径为R2．利用作图法确定轨迹圆心O2，则数学关系有：R2cos60°+
=R2
得 R2=d
由R2=
得 v2=
要使粒子从不从右边边界射出，其运动轨道半径应小于R2，因此对速度大小要求v＜
．
综上所述，对粒子运动速度大小取值要求为
＜v＜
．
答：粒子速度v的范围为
＜v＜
．
| v2 |
| R |
| mv |
| qB |
（1）若粒子做圆周运动恰好经过左边边界并且瞬时速度与边界线相切，则其对应轨迹如右图所示，设粒子对应速度大小为v1，轨道半径为R1，根据粒子对应速度大小为v1，轨道半径为R1，根据粒子经过O、A两点的速度方向确定圆弧轨迹圆心O1，由数学关系有
R1+R1cos60°=
| d |
| 2 |
得 R1=
| d |
| 3 |
由R1=
| mv1 |
| qB |
| qBd |
| 3m |
要使粒子从左边界射出磁场，其运动轨迹的半径应大于R1，因此粒子运动速度 v＞
| qBd |
| 3m |
（2）若粒子做圆周运动经过右边边界并且速度方向恰好与边界相切，则其运动轨迹如右图所示，设其对应的速度大小为v2，轨道半径为R2．利用作图法确定轨迹圆心O2，则数学关系有：R2cos60°+
| d |
| 2 |
得 R2=d
由R2=
| mv2 |
| qB |
| qBd |
| m |
要使粒子从不从右边边界射出，其运动轨道半径应小于R2，因此对速度大小要求v＜
| qBd |
| m |
综上所述，对粒子运动速度大小取值要求为
| qBd |
| 3m |
| qBd |
| m |
答：粒子速度v的范围为
| qBd |
| 3m |
| qBd |
| m |
点评：本题是临界问题，磁场有平行边界，当粒子的轨迹恰好与左右两边界相切时速度达到临界值，由几何知识求解半径是关键．
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