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精英家教网如图,质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上.一电阻不计,质量为m的导体棒PQ放置在导轨上,始终与导轨接触良好,PQbc构成矩形.棒与导轨间动摩擦因数为μ,棒左侧有两个固定于水平面的立柱.导轨bc段长为L,开始时PQ左侧导轨的总电阻为R,右侧导轨单位长度的电阻为R0.以ef为界,其左侧匀强磁场方向竖直向上,右侧匀强磁场水平向左,磁感应强度大小均为B.在t=0时,一水平向左的拉力F垂直作用于导轨的bc边上,使导轨由静止开始做匀加速直线运动,加速度为a.
(1)求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式;
(2)经过多少时间拉力F达到最大值,拉力F的最大值为多少?
(3)某一过程中回路产生的焦耳热为Q,导轨克服摩擦力做功为W,求导轨动能的增加量.
分析:电磁感应定律求电动势,匀变速运动求速度,由闭合电路欧姆定律求出感应电流随时间变化的表达式,对导轨受力分析,牛顿第二定律求F得最大值,由动能定理求导轨动能的增加量.
解答:解:(1)对杆发电:E=BLv,
导轨做初速为零的匀加速运动,v=at,
E=BLat,
s=
1
2
at2
对回路:闭合电路欧姆定律:

I=
BLV
R
=
BLat
R+2R0(
1
2
at2)
=
BLat
R+R0at2

(2)导轨受外力F,安培力FA摩擦力f.其中
对杆受安培力:FA=BIL=
B2L2at
R+R0at2

Ff=μFN=μ(mg+BIL)=μ(mg+
B2L2at
R+R0at2

由牛顿定律F-FA-Ff=Ma
F=Ma+FA+Ff=Ma+μmg+(1+μ)
B2L2at
R+R0at2

上式中当:
R
t
=R0at
即t=
R
aR0
时,外力F取最大值,
F max=Ma+μmg+
1
2
(1+μ)B2L2
a
RR0

(3)设此过程中导轨运动距离为s,
由动能定理,W=△Ek     W=Mas.  
由于摩擦力Ff=μ(mg+FA),
所以摩擦力做功:W=μmgs+μWA=μmgs+μQ,
s=
W-μQ
μmg

△Ek=Mas=
W-μQ
μmg
Ma

答:(1)回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式E=BLat,I=
BLat
R+R0at2

(2)经过
a
RR0
时间拉力F达到最大值,拉力F的最大值为Ma+μmg+
1
2
(1+μ)B2L2
a
RR0

(3)导轨动能的增加量为
W-μQ
μmg
Ma
点评:考查了电磁感应定律产生电动势、电流随时间变化的规律,讨论其最大值,能量守恒定律的应用.
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