题目内容

如图所示,在坐标原点O处,能向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带正电粒子.在O点右侧有一半径为R的圆形薄板,薄板中心O′位于x轴上,且与x轴垂直放置,薄板的两端M、N与原点O正好构成等腰直角三角形.已知带电粒子的质量为m,带电量为q,速率为v,重力不计.
(1)要使y轴右侧所有运动的粒子都能打到薄板MN上,可在y轴右侧加一平行于x轴的匀强电场,则场强的最小值E0为多大?在电场强度为E0时,打到板上的粒子动能为多大?
(2)要使薄板右侧的MN连线上都有粒子打到,可在整个空间加一方向垂直纸面向里的匀强磁场,则磁场的磁感应强度不能超过多少(用m、v、q、R表示)?若满足此条件,从O点发射出的所有带电粒子中有几分之几能打在板的左边?
分析:(1)要使y轴右侧所有运动粒子都能打在 MN板上,其临界条件为:沿y轴方向运动的粒子作类平抛运动,且落在M或N点.根据牛顿第二定律求出电场强度的最小值,根据动能定理求解打到板上粒子的动能.
(2)加匀强磁场后,粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动,当轨迹以O′为圆心同时过M、N两点时,轨迹直径最小,得到粒子圆周运动的半径,由牛顿第二定律求出B的最大值.从O点向第四象限发射出的粒子均能打在MN板的左侧,占发射粒子总数的
1
4
解答:解:(1)由题意知,要使y轴右侧所有运动粒子都能打在 MN板上,其临界条件为:沿y轴方向运动的粒子作类平抛运动,且落在M或N点.
  沿y轴方向,R=vt 
  沿x轴方向,R=
1
2
at2  
加速度    a=
qE0
m

解得E0=
2mv2
qR

由动能定理知  qE0R=Ek-
1
2
mv2

解得Ek=
5
2
mv2

(2)加匀强磁场后,粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动,当轨迹以O′为圆心同时过M、N两点时,轨迹直径最小(如图所示),且等于MN,即轨迹半径r=R,
由牛顿第二定律得  qvB=m
v2
r

解得  B=
mv
qR

即磁感应强度不能超过
mv
qR

从O点向第四象限发射出的粒子均能打在MN板的左侧,占发射粒子总数的
1
4

答:(1)场强的最小值E0
2mv2
qR
,打到板上的粒子动能为
5
2
mv2

(2)磁感应强度不能超过
mv
qR
,从O点向第四象限发射出的粒子均能打在MN板的左侧,占发射粒子总数的
1
4
点评:本题中粒子在电场中做类平抛运动时运用运动的合成和分解法研究,在磁场中要通过画出轨迹,确定临界条件求解磁感应强度.
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