Question

如图所示，在倾角θ=37°的足够长的光滑斜面上，质量都为M=2kg的长方体板A和B之间夹有少许炸药，在B的上表面左端叠放有一质量m=1kg的物体C（可视为质点），C与B之间的动摩擦因数μ=0.75．现无初速度同时释放A、B、C整体，当它们沿斜面滑行s=3m时，炸药瞬间爆炸，爆炸完毕时A的速度v_A=12m/s．此后，C始终未从B的上表面滑落．问：B的长度至少为多大？（取g=10m/s²，爆炸不会影响各物体的质量和各表面的光滑程度）

Answer 1

整体下滑阶段，研究A、B、C整体，设末速度为v，由动能定理得：
  （2M+m）gssinθ=

1

2

（2M+m）v²　
解得：v=

2gssinθ

=

2×10×3×0.6

m/s=6m/s
爆炸前后，A和B组成的系统动量守恒，由动量守恒定律有：
   2Mv=Mv_A+Mv_B　
解得：v_B=0　
此后，设C在B上滑动的加速度为a_C，由牛顿第二定律有：
   mgsinθ-μmgcosθ=ma_C　
解得：a_C=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.75×0.8）=0　
对B，由牛顿第二定律有：Mgsinθ+μmgcosθ=Ma_B　
得：
   a_B=gsinθ+

μmg

M

cosθ=10×0.6+

0.75×1×10

2

×0.8=9（m/s²）
C和B经时间t达到共同速度v后将不再相对滑动，则有：t=

v

aB

板的最小长度L满足：L=vt-

v

2

t　  
联立解得：L=2m．　
答：B的长度至少为2m．