Question

7．如图所示，质量m₁=2kg的小车静止在光滑的水平面上，车长L=90m，现有质量m₂=0.5kg可视为质点的物块，以水平向右的速度v₀=20m/s从左端滑上小车，最后在车面上某处与小车保持相对静止．物块与车面间的动摩擦因数μ=0.4，取g=10m/s²，求：
（1）物块在车面上滑行的时间t；
（2）要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v₀不超过多少．

Answer 1

分析 （1）根据动量守恒定律、动量定理物块在车面上滑行的时间t，首先判断动量是否守恒，再选取正方向列式求解；也可运用运动学公式和牛顿第二定律求解，对m₂进行受力分析，求出加速，结合运动学公式v=v₀+at可解出结果．
（2）根据动量守恒定律、能量守恒求解．也可运用牛顿第二定律求出物体和小车的加速度，由相对运动表示出出物块和小车的相对位移L，再结合运动学公式${{v}_{t}}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=2as$可解出结果．

解答 解：
解法一：
（1）由题意知动量守恒，设物块与小车的共同速度为v，以水平向右为正方向（如图所示），根据动量守恒定律有
m₂v₀=（m₁+m₂）v…①
设物块与车面间的滑动摩擦力为F，对物块应用动量定理有
-Ft=m₂v-m₂v₀…②
其中F=μm₂g…③
解得 $t=\frac{{{m_1}{v_0}}}{{μ（{{m_1}+{m_2}}）g}}$
代入数据得 t=0.24s…④
（2）要使物块恰好不从车厢滑出，须物块到车面右端时与小车有共同的速度v′，则
m₂v'₀=（m₁+m₂）v'…⑤
由功能关系有$\frac{1}{2}{m_2}v'_0^2=\frac{1}{2}（{{m_1}+{m_2}}）{v'^2}+μ{m_2}gL$…⑥
⑤⑥联立并代入数据解得：v₀′=5m/s
故要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车的速度v₀′不能超过5m/s．
解法二：
　（1）选物块原来的方向为正，
对小车有a₁=$\frac{μ{m}_{2}g}{{m}_{1}}$=$\frac{10}{3}$m/s²，…①
对物块a₂=$\frac{-μ{m}_{2}g}{{m}_{2}}$=-5m/s²…②
由于物块在车面上某处与小车保持相对静止，物块和车具有共同速度．
所以有v₀+a₂t=a₁t…③
①②式代入③式解得t=0.24s
（2）要使物块恰好不从车厢滑出，须物块到车面最右端时与小车有共同的速度v′设小车的位移为s₁，物块的位移为s₂，物块原来的速度为v₀'
对小车有：v^′2-0=2a₁s₁…④
对物块有：${{v}^{′}}^{2}\;-\;{{v}_{0}^{′}}^{2}=2{a}_{2}{s}_{2}$…⑤
s₂-s₁=L…⑥
①②④⑤⑥联立解得v₀'=5m/s
答：（1）物块在车面上滑行的时间为0.24s
（2）要使物块不从小车右端滑出，物块滑上小车左端的速度v₀′不超过5m/s．

点评 本题考查摩擦拖动类的动量和能量问题，涉及动量守恒定律、动量定理、功能关系、牛顿第二定律和运动学公式这些物理规律的运用．本题采用了两种解法进行了求解，要注意明确两种解法的区别与联系，体会动量守恒定律解题的便捷性．