Question

（2013?宝山区一模）相距L=1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m₁=1kg的金属棒ab和质量为m₂=0.27kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同．ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数为μ=0.75，两棒总电阻为1.8Ω，导轨电阻不计．ab棒在方向竖直向上，大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放．（g=10m/S²）
（1）求出磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小；
（2）已知在2s内外力F做功40J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；
（3）求出cd棒达到最大速度所需的时间t₀，并在图（c）中定性画出cd棒所受摩擦力f_cd随时间变化的图线．

Answer 1

分析：（1）由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL、v=at，及牛顿第二定律得到F与时间t的关系式，再根据数学知识研究图象（b）斜率和截距的意义，即可求磁感应强度B的大小和ab棒加速度大小．
（2）由运动学公式求出2s末金属棒ab的速率和位移，根据动能定理求出两金属棒产生的总焦耳热．
（3）分析cd棒的运动情况：cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．
cd棒达到最大速度时重力与摩擦力平衡，而cd棒对导轨的压力等于安培力，可求出电路中的电流，再由E=BLv、欧姆定律求出最大速度．

解答：解（1）经过时间t，金属棒ab的速率 v=at        
此时，回路中的感应电流为       I=

E

R

=

BLv

R

对金属棒ab，由牛顿第二定律得   F-BIL-m₁g=m₁a
由以上各式整理得：F=m1a+m1g+

B2L2

R

at
在图线上取两点：t₁=0，F₁=11N； t₂=2s，F₂=14.6N
代入上式得   a=1m/s²，B=1.2T                      
（2）在2s末金属棒ab的速率 v_t=at=2m/s    
所发生的位移    S=

1

2

at2=2m
由动能定律得   WF-m1gS-W安=

1

2

m1

v

2 t

又   Q=W_安                               
联立以上方程，解得
  Q=W_F-mgs-

1

2

m

v

2 t

=40-1×10×2-

1

2

×1×22=18（J）
（3）cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动．
当cd棒速度达到最大时，对cd棒有：m₂g=μF_N
又     F_N=F_安 F_安=BIL
整理解得 m₂g=μBIL
对abcd回路：I=

E

R

=

BLvm

R

解得    v_m=

m2gR

μB2L2

=2m/s         
   v_m=at₀   得  t₀=2s
f_cd随时间变化的图象如图所示．   
答：
（1）求出磁感应强度B的大小为1.2T，ab棒加速度大小1m/s²；
（2）这一过程中两金属棒产生的总焦耳热是18J；
（3）cd棒达到最大速度所需的时间t₀为2s，cd棒所受摩擦力f_cd随时间变化的情况如图．

点评：本题中cd棒先受到滑动摩擦，后受到静摩擦，发生了突变，要仔细耐心分析这个动态变化过程．滑动摩擦力与安培力有关，呈现线性增大．