Question

（2013?普陀区一模）如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径R=1m，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点为光滑轨道的最高点且在O的正上方．一小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰好能通过B点（从A点进入圆轨道时无机械能损失），最后落到水平面C点处．求：
（1）小球通过轨道B点的速度大小．
（2）释放点距A点的竖直高度．
（3）落点C到A点的水平距离．

Answer 1

分析：小球恰能通过最高点B时，对轨道的压力为0，重力提供向心力，mg=m

vB2

R

求出B点的速度，从释放点到B点运用动能定理，根据动能定理求出释放点距离A点的高度．
小球离开B点做平抛运动，高度决定时间，根据时间和B点的速度求出水平距离．

解答：解：（1）小球恰能通过最高点B时有：
   mg=m

v 2 B

R

①
解得：vB=

gR

=

10×1

m/s=

10

m/s
（2）设释放点到A高度h，则有  mg(h-R)=

1

2

m

v

2 B

②
联立①②解得：h=1.5R=1.5×1m=1.5m
（3）小球由C到D做平抛运动 R=

1

2

gt2③
水平位移x_OC=v_Bt④
联立①③④解得：xOC=

2

R
所以落点C与A点的水平距离为：
xAC=(

2

-1)R=(

2

-1)×1m=0.41m
答：（1）小球通过轨道B点的速度大小为

10

m/s．
（2）释放点距A点的竖直高度为1.5m．
（3）落点C到A点的水平距离为0.41m．

点评：解决本题的关键知道球到达C点时对轨道的压力为0，有mg=m

vB2

R

，以及能够熟练运用动能定理．